Introduzione all'aritmetica modulare

a cura di Pietro Vertechi

Scaletta della lezione:

- Definizione di gruppo abeliano, anello commutativo e campo

- Gli ideali (come sono definiti, quali sono gli ideali in Z, a che servono)

- Gli interi a meno di multipli di p, con p primo (modulo p)

- Teorema di Bezout (dimostriamo che gli interi modulo p sono un campo)

- Ordine moltiplicativo (definizione e alcune proprietà)

- Residui quadratici (e più in generale residui k-esimi)

- Teorema di Lagrange sulla cardinalità di sottogruppi di gruppi finiti

- Piccolo teorema di Fermat (p|a^p-a)

- Esistenza del generatore (ovvero: un campo a meno dello zero è un gruppo moltiplicativo ciclico)

- Polinomi ciclotomici

- Gli interi a meno di multipli di m, con m generico (modulo m)

- Teorema cinese del resto (dimostrazione costruttiva)

- Funzione phi di Eulero (come si calcola? a che serve?)

- Teorema di Eulero-Fermat (generalizzazione del piccolo teorema di fermat per i numeri composti)

- Sistema crittografico RSA: in che modo la funzione phi tutela la nostra sicurezza sul web?