Applicabilità quando i tentativi si interrompono al realizzarsi dell'evento (numero prove è un max)

La formula descritta trova applicazione anche quando i tentativi si interrompono al verificarsi dell'evento cercato (cioè il numero di ripetizioni è un valore massimo dipendente dall'esito delle prove e non un valore fisso)? Ad es, nella fecondazione assistita c'è una probabilità del 20% di avere successo e voglio sapere quante probabilità ho di avere successo avendo a disposizione 5 tentativi (supponendo indipendenti le prove). E' chiaro che se ho successo al terzo tentativo non continuo con il quarto ed il quinto tentativo. La formula è la stessa ?


il 12 Novembre 2015, da Antonello Lobianco

Giovanni Barazzetta il 12 Novembre 2015 ha risposto:

Ciao Antonello! Riprendo il tuo esempio per spiegare meglio la situazione: la domanda che ci si pone quando si usa la formula di Bernoulli è "qual è la probabilità di ottenere $k$ successi su $n$ prove indipendenti"; la domanda che ti poni tu è "qual è la probabilità che il primo successo di prove indipendenti avvenga prima della sesta prova, contando che una volta ottenuto il successo smetto di effettuare prove". Come vedi, le richieste sono differenti. La formula che descrive la probabilità di ottenere il primo successo al $k$-esimo tentativo, se si effettuano prove indipendenti (guarda qui per la definizione di eventi indipendenti https://library.weschool.com/lezione/come-risolvere-problemi-eventi-dipendenti-calcolo-probabilita-9439.html), è descritto dalla distribuzione geometrica: se $S$ indica il primo successo, $k$ il numero ordinale della prova che stiamo effettuando, e la probabilità di ottenere un successo in ciascuna prova è $p \in [0,1]$, allora vale$$P( S = k ) = p (1-p)^k$$Il tuo processo è leggermente più complicato però: a te serve che il primo successo, $S$, avvenga nelle prove numero $1$, $2$, $3$, $4$ o $5$. Siccome "$S$ avviene alla prova numero $n$" e "$S$ avviene alla prova numero $m$" sono eventi disgiunti (cioè non hanno intersezione come eventi: guarda qui per una definzione più formale https://library.weschool.com/lezione/probabilita-calcolo-probabilita-statistica-calcolo-combinatorio-formule-sigma-algebra-Kolmogorov-15850.html), possiamo calcolare la probabilità di ottenere il primo successo prima della quinta prova come la somma $P (S = 1) + P(S = 2) + P(S = 3) + P(S =4) + P(S = 5)$. Usando la formula della distribuzione geometrica, otteniamo che la probabilità cercata è$$\frac{1}{5} + \frac{1}{5}\frac{4}{5} + \frac{1}{5}\left( \frac{4}{5}\right)^2 + \frac{1}{5}\left( \frac{4}{5}\right)^3 + \frac{1}{5}\left( \frac{4}{5}\right)^4$$Svolgendo i calcoli, arriviamo a $\frac{2101}{3125} = 0.67232$, quindi c'è il $67.232 \%$ di probabilità che la fecondazione abbia successo con $5$ tentativi. Spero di essere stato chiaro! se hai altri dubbi chiedi pure :D Ciao e buona giornata.


Bè che dire.. la tua eccellente risposta mi invita a studiare l'argomento in dettaglio.. grazie mille.. - Antonello Lobianco 12 Novembre 2015

GRAZIE MILLE GIOVANNI ANCHIO AVEVO I DUBBI COME RISOLVERLO - drucille kenmegni 21 Aprile 2017