Chiusure Transitive

Ciao Raphael! Allora, la chiusura transitiva di una relazione $R$ è un'altra relazione, tipicamente denotata con $R^+$, che aggiunge ad $R$ tutti quegli elementi che, pur non essendo necessariamente in relazione direttamente fra loro, possono essere raggiunti da una "catena" di elementi tra loro in relazione. In pratica, la chiusura transitiva di $R$ è la più piccola (in senso insiemistico) relazione transitiva $R^+$ tale che $R \subset R^+$. Parliamo più approfonditamente delle relazioni qui https://library.weschool.com/lezione/codominio-dominio-relazione-classi-equivalenza-teoria-insiemi-12780.html. Per rispondere alla tua domanda, potresti partire direttamente da $R = N \times N$, che sicuramente come chiusura transitiva ammette proprio $N \times N$. Se invece vogliamo essere un po' più raffinati, potremmo scegliere come relazione quella fatta da tutte le coppie di numeri successivi, $(0,1)$, $(1, 2)$, eccetera sino a $(n-1, n)$, a cui aggiungiamo $(n,0)$. Ora, se immaginiamo questa relazione come dei "passi" unitari sulla retta dei numeri, assieme ad un grande "passo indietro", con un po' di immaginazione possiamo raggiungere, partendo da un numero qualsiasi, tutti gli altri numeri tra $0$ ed $n$: questo garantisce che $R^+ = N \times N$. Spero di essere stato chiaro: se hai qualunque dubbio, chiedi pure! Ciao e buona serata.

Grazie davvero tanto Giovanni, non ero sicuro se prendendo una coppia di elementi qualsiasi era giusta o dovevo prendere anche in considerazione quelli che godevano delle proprietà riflessiva e simmetrica! Comunque mi hai chiarito tutto! Grazie ancora!! - Rapheal Nwosu 27 Giugno 2016