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Disequazioni logaritmiche

Se non potete farle tutte non fa niente, mi bastano alcune per capire. Grazie mille! 1) log 3/4 (1 - x^2) minore o uguale a 0 2) log 1/2 (x^2 - 1) > 0 3) log (3 - x) > 1 4) log 3/2 (4 - 3x) < 0 5) log 3/4 (1 - x^2) > 0 6) log a (5 - x^2) < 0 con 0 < a < 1 7) log 1/2 (2x + 1) > -2 8) log 5/4 (1 + 5x) minore o uguale a 2 9) log3 x +log3 (x+1) > log3 (x^2 - x) + 1 10) 2logx - log (x - 1) > 2log2 11) log3x + 2log9x - 2 < 0 12) 2 log2x - log4 x^2 - 1 < 0

Il 28 agosto 2015 alle 19:21, da Dennis Izzo


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Ciao Dennis, vedo che le disequazioni logaritmiche proprio non ti piacciono... :D Allora, ti segnalo nuovamente questo video, che sicuramente fa al caso tuo: http://www.oilproject.org/lezione/disequazioni-logaritmiche-logaritmi-esercizi-svolti-esempi-9375.html. Le prime disequazioni sono quasi tutte elementari, e il video che ti ho mostrato dovrebbe bastarti a capire come si risolvono: invece per svolgere le ultime bisogna usare attentamente le proprietà dei logaritmi (che trovi qui: http://www.oilproject.org/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html). Per esempio, prendiamo la disequazione numero 9: $$\log_3 (x) +\log_3(x+1) > \log_3(x^2 - x) + 1$$Imponendo le condizioni di esistenza per ciascun logaritmo otteniamo il seguente sisema: $$\begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ x < 0 \ \vee \ x > 1 \end{cases}$$La soluzione di questo sistema è $x>1$, il che ci porta a studiare la disequazione solo per questi valori. Portiamo adesso tutti i termini con la $x$ al primo membro della disequazione: $$\log_3 (x) +\log_3(x+1) - \log_3(x^2 - x) > 1$$Adesso, grazie alle proprietà dei logaritmi, possiamo riformulare il primo membro, ottenendo \begin{align*} \log_3 \left ( \frac{x \cdot (x+1)}{x^2 - x} \right ) & > 1 \\ \log_3 \left ( \frac{x+1}{x-1} \right ) & > 1 \\ \frac{x+1}{x-1} & > 3 \end{align*}L’ultima disequazione è di tipo frazionario, qui hai una spiegazione del metodo di risoluzione: http://www.oilproject.org/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html. La soluzione della disequazione è $-1 < x < 2$, ma siccome dobbiamo confrontare questa soluzione con le condizioni di esistenza - che sono $x > 1$ - allora la soluzione della disequazione logaritmica è $$S: \qquad 1 < x < 2$$A presto, buona giornata!

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