Disequazioni logaritmiche

Ciao Dennis, vedo che le disequazioni logaritmiche proprio non ti piacciono... :D Allora, ti segnalo nuovamente questo video, che sicuramente fa al caso tuo: https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-logaritmiche-logaritmi-esercizi-svolti-esempi-9375.html. Le prime disequazioni sono quasi tutte elementari, e il video che ti ho mostrato dovrebbe bastarti a capire come si risolvono: invece per svolgere le ultime bisogna usare attentamente le proprietà dei logaritmi (che trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html). Per esempio, prendiamo la disequazione numero 9: $$\log_3 (x) +\log_3(x+1) > \log_3(x^2 - x) + 1$$Imponendo le condizioni di esistenza per ciascun logaritmo otteniamo il seguente sisema: $$\begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ x < 0 \ \vee \ x > 1 \end{cases}$$La soluzione di questo sistema è $x>1$, il che ci porta a studiare la disequazione solo per questi valori. Portiamo adesso tutti i termini con la $x$ al primo membro della disequazione: $$\log_3 (x) +\log_3(x+1) - \log_3(x^2 - x) > 1$$Adesso, grazie alle proprietà dei logaritmi, possiamo riformulare il primo membro, ottenendo ##KATEX##\begin{aligned} \log_3 \left ( \frac{x \cdot (x+1)}{x^2 - x} \right ) & > 1 \\ \log_3 \left ( \frac{x+1}{x-1} \right ) & > 1 \\ \frac{x+1}{x-1} & > 3 \end{aligned}##KATEX##L’ultima disequazione è di tipo frazionario, qui hai una spiegazione del metodo di risoluzione: https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html. La soluzione della disequazione è $-1 < x < 2$, ma siccome dobbiamo confrontare questa soluzione con le condizioni di esistenza - che sono $x > 1$ - allora la soluzione della disequazione logaritmica è $$S: \qquad 1 < x < 2$$A presto, buona giornata!