Funzioni

Ciao Marco! Il tuo dubbio è legittimo, dato che la maggior parte degli esempi di funzioni discontinue sono funzioni definite su un intervallo tranne che in un punto. Ti posso rimandare a questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/punti-discontinuita-terza-prima-specie-funzione-analisi-matematica-14935.html per alcuni esempi di funzioni definite su un intervallo ma non continue su tutto l'intervallo. Un classico esempio, un mostro terribile, è la funzione$$ f(x) = \begin{cases} 1 \text{ se } x \in \mathbb{Q} \\ 0 \text{ se } x \notin \mathbb{Q}\end{cases}$$detta la funzione di Dirichlet, che è definita su tutto $\mathbb{R}$ ma non è continua nemmeno in un punto. Se non ti piacciono le funzioni definite a tratti, posso proporti $f(x) = \frac{x^2}{x}$, che algebricamente ci dà gli stessi valori di $x$, ma che, tecnicamente, non è definita in $0$. Se ancora non sei soddisfatto, proviamo con $f(x) = x - \left\lfloor x \right\rfloor$, che in pratica prende di un numero reale solo la sua parte decimale, e al posto dei numeri prima della virgola mette $0$. Il grafico di questa funzione sembra i denti di una sega: è definita su tutto $\mathbb{R}$ ma non è continua ne numeri interi, dato che il limite da sinistra vale $1$ e il limite da destra vale $0$ (e la funzione, calcolata nei numeri interi, vale $0$). Spero che sia tutto chiaro: se hai dubbi, chiedi pure! Ovviamente, questi sono solo pochi esempi; di funzioni ce ne sono anche fin troppe per essere contate! Ma sono questi i dubbi che ci fanno progredire. Bravo! Ciao e buona serata.