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Funzioni esponenziali e logaritmiche

1) log 2/3 [log2 (1-x^2)] minore o uguale a 2 2) log 2/3 [log2 (x^2 + 1)] > 1 3) log3 [log3 (2x - 5)] < 0 4) log [log (x^2 - 6)] < 0 5) log [log (x^2 - 15)] < 0

Il 28 agosto 2015 alle 19:15, da Dennis Izzo


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Ciao Dennis, ci ritroviamo! :) Inizio a linkarti questa lezione sulle disequazioni logaritmiche, in generale: http://www.oilproject.org/lezione/disequazioni-logaritmiche-logaritmi-esercizi-svolti-esempi-9375.html. Magari può esserti utile dare un'occhiata al corso dedicato alle funzioni logaritmiche ed esponenziali: http://www.oilproject.org/corso/esponenziali-e-logaritmi-9433.html. Comunque vada: queste disequazioni si svolgono tutte, fondamentalmente, nello stesso modo. Prendiamo per esempio la seconda: $$\log_{\frac{2}{3}} \left ( \log_2 (x^2+1) \right ) > 1$$Per prima cosa è fondamentale stabilire il dominio di questa disequazione, cioè dove ha senso risolvere questa disequazione. Dato che l’argomento di ciascun logaritmo deve essere sempre maggiore strettamente di zero, ci ritroviamo a dover risolvere questo sistema: $$\begin{cases} x^2+1 > 0 \\ \log_2(x^2+1) >0 \end{cases} $$La prima è una disequazione di secondo grado (ecco qui il metodo risolutivo: http://www.oilproject.org/lezione/risolvere-disequazioni-secondo-grado-intere-tabella-delta-12960.html) che è sempre verificata; la seconda è una disequazione logaritmica, che è equivalente a $x^2 + 1 > 1$ cioè a $x^2 > 0$, che è di nuovo una disequazione di secondo grado che è sempre verificata tranne che per $x = 0$. Di conseguenza tutta la disequazione dovrà essere svolta tenendo conto del fatto che $x=0$ non sarà una soluzione accettabile (se mai risulterà come soluzione). Detto questo, possiamo risolvere la disequazione vera e propria: \begin{align*}\log_{\frac{2}{3}} \left ( \log_2 (x^2+1) \right ) & > 1 \\ \log_2(x^2 + 1) & < \frac{2}{3} \\ x^2 + 1 & < 2^{\frac{2}{3}} \\ x^2 +1 - 2^{\frac{2}{3}} & < 0 \end{align*}Abbiamo trasformato la disequazione logaritmica in una disequazione di secondo grado, che ha per soluzione $- \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1} < x < \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1}$: dato che però dobbiamo togliere $x=0$ (per le condizioni di esistenza) la soluzione diventa quindi: $$S: \qquad - \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1} < x < 0 \quad \vee \quad 0 < x < \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1}$$Fammi sapere se c’è qualcosa che non ti è chiaro :)

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