il mio prof mi ha lasciato questo esercizio

Ciao Salvo! Questa parabola potrebbe sembrare difficile da "risolvere", perché non è una delle classiche in cui possiamo esplicitare la $x$ o la $y$. Però... però possiamo fare delle sostituzioni. Magari, se cambiamo nome a qualche lettera, la parabola assume una forma che riusciamo a riconoscere. Si tratta di trasformare le coordinate in altre coordinate, risolvere il problema, e poi ritornare indietro al punto di partenza. Nota come si può evidenziare un quadrato perfetto (come indicato qui https://library.weschool.com/lezione/prodotti-notevoli-somma-differenza-cubi-cubo-binomio-quadrato-trinomio-3197.html):$$ x^2 - 6 xy +9y^2 +x = 0 \ \Rightarrow \ (x - 3y)^2 + x = 0 $$Ora ridenominiamo queste espressioni: possiamo chiamare $y' = x - 3y$, e $x' = x$, di modo che l'equazione si trasformi in$$ y'^2 + x' = 0 \Rightarrow x' = - y'^2 $$Questa sì che sappiamo analizzarla! Si tratta di una parabola con asse orizzontale (attenzione: non nel piano $(x,y)$, ma nel piano $\left(x',y' \right)$!!!) e seguendo le istruzioni che puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/parabola-formule-vertice-direttrice-asse-fuoco-geometria-analitica-13182.html possiamo ricavare che questa parabola ha asse di equazione $ y' = 0 $, vertice di coordinate $\left(x',y' \right) = (0,0) $, eccetera. Ora, al posto di $x'$ ed $y'$ rimettiamo le coordinate ordinarie $x$ e $y$! Quindi scopriamo, ad esempio, che l'asse della parabola ha equazione$$ y' = 0 \Rightarrow (x - 3y) = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}x $$Allo stesso modo possiamo ricavare tutte le altre informazioni richieste! Spero sia tutto chiaro: se hai qualsiasi dubbio, chiedi pure! Ciao e buona giornata!