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limite

lim x->0 di x-senx/(1-cosx)(1-e^x)

Il 30 maggio 2015 alle 10:35, da Emilia Milazzo


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Ciao Emilia! Per rispondere a questa domanda, devi sicuramente provare a lavorare un po' con i limiti notevoli. Ecco una nostra lezione che ne parla: http://www.oilproject.org/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html. In ogni caso, prima di darti una mano, voglio essere sicuro di quello che mi stai chiedendo: da come hai scritto la domanda, non capisco se il limite che devi risolvere è $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{(1 - \cos(x))(1 - e^x)}$$ oppure $$\lim_{x \to 0} x-\frac{\sin(x)}{(1 - \cos(x)(1 - e^x)}$$Da come hai messo le parentesi sembrerebbe il secondo limite, ma vorrei esserne certo :D Ciao!

è il primo limite - Emilia Milazzo 30/5/15

5745 Score

Ciao Emilia. Ho provato a risolvere il tuo limite utilizzando solamente i limiti notevoli “classici” che vengono generalmente insegnati alle superiori, ma purtroppo credo che utilizzando solo questi strumenti non sia possibile risolverlo. Bisogna invece ricorrere a concetti più avanzati dell’Analisi come gli sviluppi di Taylor; se non sai cosa sono, proverò comunque a spiegarmi :) Allora, per prima cosa notiamo che al denominatore sono presenti i termini $(1-\cos(x))$ e $(1-e^x)$. Questi due termini ci ricordano i seguenti limiti notevoli:$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$Il motivo per cui questi limiti valgono (e in realtà tutti i limiti notevoli) è giustificato dai cosiddetti sviluppi di Taylor delle funzioni $\cos(x)$ e $e^x$ centrati in $0$. Gli sviluppi di Taylor permettono di approssimare il comportamento di una funzione (che rispetti certe proprietà di regolarità) intorno a un punto scelto, interpretandola come una serie polinomiale. Per esempio, si può dimostrare che vicino a $0$ valgono le seguenti approssimazioni: \begin{align*} \cos(x) & \approx 1 - \frac{x^2}{2} \\ e^x & \approx 1 + x \\\sin(x) & \approx x - \frac{x^3}{6} \end{align*}Vale la pena di notare che le prime due approssimazioni sono di fatto equivalenti ai limiti notevoli visti prima, mentre l’ultima è una sorta di limite notevole “più preciso” che non viene visto di solito! Comunque, utilizzando queste approssimazioni nel limite che dobbiamo risolvere otteniamo: $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \left ( x - \frac{x^3}{6} \right )}{\left ( 1 - \left ( 1 - \frac{x^2}{2} \right ) \right ) \left ( 1 - (1+x) \right )} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{\frac{x^2}{2} \cdot (-x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{-\frac{x^3}{2}} = -\frac{1}{3}$$Ecco fatto! Spero che tu abbia capito, ma se c’è qualcosa che non ti è chiaro dimmi pure :)

37 Score

Forse se dividi ogni membro per x vengono fuori i limiti notevoli.. quindi sopra hai che tende a 1, poi sotto (1-cosx)/x tende a 0 quindi viene 0 sotto e quindi hai alla fine 1/0 cioè infinito.... non sono sicura però!

5 Score

É il primo limite

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