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Problema di geometria nello spazio euclideo

La base di una piramide è un quadrato di lato 20 cm, la proiezione del vertice sul piano di base coincide con un vertice del quadrato di base e l'altezza è 20 cm. Determina l'ampiezza dei suoi diedri.

Il 28 agosto 2015 alle 17:43, da Dennis Izzo


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Ciao, la geometria è più facile se prima rappresentiamo le figure!!. Disegna prima un cubo di lato 20 cm, poi tratteggia la tua piramide congiungendo uno dei vertici del cubo con i vertici della base del cubo. La tua piramide avrà due facce laterali formate da triangoli isosceli con i due lati coincidenti con i lati del cubo (20 cm), un lato pari alla diagonale del quadrato (lato x radice quadrata di 2) e gli angoli di 90°,45°,45°. Le altre due facce laterali della piramide avranno un lato di 20 cm, un lato pari alla diagonale del quadrato (lato x radice quadrata di 2) ed un altro lato pari alla diagonale del cubo (lato x radice quadrata di 3). A questo punto con un po' di trigonometria te la sbrighi subito...se hai problemi fammi sapere!! Ciaooo

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Ciao Dennis. Pasquale ti ha già suggerito un bel modo di pensare al problema, e in effetti anche io ho disegnato la piramide per cercare di capire bene il tipo di solido che stiamo studiando. Infatti, anche tenendo presente le considerazioni fatte da Pasquale, si vede facilmente che la piramide in questione ha due facce perpendicolari alla base, che quindi sono diedri di ampiezza $90$ gradi. Gli altri due invece hanno ampiezza $45$ gradi, dato che: 1) per definizione, l'angolo diedro è l'angolo compreso tra le semirette ottenute intersecando le facce del diedro con un qualsiasi piano perpendicolare allo spigolo del diedro; 2) le facce perpendicolari alla base sono perpendicolari anche allo spigolo del diedro, per il teorema delle tre perpendicolari ( http://www.oilproject.org/lezione/angolo-diedro-rette-sghembe-semipiano-teorema-tre-perpendicolari-geometria-nello-spazio-14896.html ); 3) l'angolo che si viene a formare su queste facce è di $45$ gradi. Spero di essermi spiegato, ma se hai altre domande sai dove trovarmi :) Buona giornata!

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