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somme e sottrazioni con le potenze

Ciao! io ho un problema con le potenze che non sono mai riuscito a risolverlo. quando si ha, ad esempio un equazione, con base uguale ma esponente diverso, come procedo??? Esempio: 2^x - √2 = 4- 2^((5/2)-x) So che si potrebbe utilizzare una incognita ausiliaria ma... non s perchè dopo un po' mi perdo con i calcoli.

Il 28 giugno 2015 alle 14:20, da Gianpaolo Barducci


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Ciao Gianpaolo! Riscrivo questa equazione esponenziale per maggiore chiarezza: $$2^x - \sqrt{2} = 4 - 2^{\frac{5}{2} - x}$$La prima cosa che “dà fastidio” (e che hai notato anche tu) è che c’è il termine $2^{\frac{5}{2} - x}$ che ha stessa base dell’altro termine esponenziale ma esponente differente. In questo caso il mio suggerimento è di riscrivere questo termine sfruttando le proprietà delle potenze (ecco una lezione che ne parla: http://www.oilproject.org/lezione/proprieta-potenze-potenza-di-potenza-matematica-12977.html). Ecco il risultato che otteniamo:$$2^{\frac{5}{2} - x} = \frac{2^{\frac{5}{2}}}{2^x} = \frac{4\sqrt{2}}{2^x}$$A questo punto l’equazione diventa: $$2^x - \sqrt{2} = 4 - \frac{4\sqrt{2}}{2^x}$$Come intuivi, la cosa migliore da fare è fare la sostituzione $2^x = t$ in modo da poter lavorare più agilmente: $$t - \sqrt{2} = 4 - \frac{4\sqrt{2}}{t}$$È importante sottolineare che $t \neq 0$ dato che $t = 2^x$, e quindi non può essere mai nullo: per questa ragione siamo autorizzati a moltiplicare primo e secondo membro per $t$ senza rischiare di scrivere qualcosa di errato. Con questo “trucco” otteniamo quindi la seguente equazione di secondo grado in $t$: $$t^2 - \sqrt{2}t = 4t - 4\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad t^2 - (4 + \sqrt{2})t + 4\sqrt{2} = 0$$A questo punto bisogna applicare il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado (qua c’è una lezione a riguardo: http://www.oilproject.org/lezione/risoluzione-equazione-secondo-grado-formula-risolutiva-ridotta-equazioni-algebra-12887.html, mentre nel calcolo delle radici ti tornerà utile sapere la formula per i radicali doppi, che trovi qui: http://www.oilproject.org/lezione/razionalizzazione-radicali-radicale-doppio-operazioni-esercizi-13321.html) per arrivare a ottenere le due soluzioni $t_1 = 4$ e $t_2 = \sqrt{2}$. Dato che vogliamo le soluzioni in $x$, dobbiamo ripercorrere “al contrario” la sostituzione fatta, ottenendo $$2^{x_1} = 4, \qquad 2^{x_2} = \sqrt{2}$$da cui otteniamo $$x_1 = 2, \qquad x_2 = \frac{1}{2}$$Ricapitolando, possiamo dire che questa equazione esponenziale poteva essere risolta con qualche “trucco” algebrico riconducendola a un’equazione di secondo grado con l’incognita ausiliaria $t = 2^x$; altri esercizi simili possono essere trovati guardando questo video: http://www.oilproject.org/lezione/come-risolvere-equazioni-esponenziali-esempi-esercizi-svolti-9355.html. Se hai domande sul modo in cui ho svolto l’esercizio, o se non ti tornano i conti, fammi sapere! :)

Gentilissimo e chiarissima spiegazione! 1000 grazie. ehhhmm mi sono fatto lasciare spaventare dalla radice sotto radice e poi non sono andato avanti nei calcoli. Dopo la tua spiegazione ho notato che si poteva tradurla come -(√2-t)(t-4)=0 e si devo dire che su quello ho un po' di lacune. vedrò come imparare :) Ancora grazie per la risposta e la spiegazione. P.S. le soluzioni sono identiche a quelle del libro:) - Gianpaolo Barducci 29/6/15

Meno male! :D Ti propongo anche questo spunto di riflessione: in generale, per un'equazione di secondo grado della forma $x^2 + ax + b = 0$ che abbia radici $x_1, x_2$ valgono sempre le seguenti formule: $$\begin{cases} -a = x_1 + x_2 \\ b = x_1 \cdot x_2 \end{cases}$$Applicato all'equazione del nostro problema (che è $x^2 - (4 + \sqrt{2})x + 4\sqrt{2} = 0$) si vede allora immediatamente che le nostre soluzioni sono $x_1=4$ e $x_2 = \sqrt{2}$, senza fare neanche un conto... ;) - Michele Ferrari 29/6/15

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