Trigonometria

Archi e angoli associati: formule e dimostrazione

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In trigonometria, con le espressioni archi associati o angoli associati si intendono uno degli angoli della forma: $$\alpha \pm \frac{\pi}{2}, \quad \alpha \pm \pi, \quad \alpha \pm \frac{3 \pi}{2}$$o anche in angoli del tipo: $$\frac{\pi}{2} - \alpha, \quad \pi - \alpha, \quad \frac{3\pi}{2} - \alpha,$$con $\alpha$ un angolo qualsiasi.

Questa lezione è dedicata a mostrare in che modo è possibile ricavare il valore che le funzioni trigonometriche assumono in angoli di questo tipo, a partire dal valore che esse assumono in $\alpha$. Se invece si volesse avere un elenco delle principali formule per gli archi associati, rimandiamo alla pagina contenente tutte le formule trigonometriche.

 

L’angolo associato $\alpha + \frac{\pi}{2}$

Consideriamo la seguente figura, in cui nella circonferenza goniometrica disegnamo un angolo $\alpha$ (che per semplicità consideriamo acuto) e l’angolo associato $\alpha + \frac{\pi}{2}$.

Nel disegno sono evidenziati seno e coseno di entrambi gli angoli: abbiamo colorato nello stesso modo i segmenti che sono congruenti. In formule, queste uguaglianze si riscrivono così:
\begin{align*}
\cos \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right ) & = - \sin \alpha \\
\sin \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right ) & = \cos \alpha
\end{align*}
Nonostante ci sia uguaglianza tra i segmenti, notiamo che è necessario mettere un segno $-$ nella prima formula, perché $\cos \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right )$ è la prima coordinata del punto $B$ della circonferenza goniometrica che corrisponde a $\alpha + \frac{\pi}{2}$, che appartiene al secondo quadrante (dove le ascisse sono negative).

A partire dalle identità appena ricavate, possiamo ottenerne altre, ricordando le definizioni di tangente e cotangente:
\begin{align*}
\tan \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right ) & = \frac{\sin \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right )}{\cos \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right )} = \frac{\cos \alpha}{-\sin \alpha} = -\cot \alpha; \\
\cot \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right ) & = \frac{\cos \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right )}{\sin \left (\alpha + \frac{\pi}{2} \right )} = \frac{-\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\tan \alpha.
\end{align*}
La dimostrazione grafica che abbiamo dato è valida solamente per un angolo $\alpha$ acuto, ma questa può essere riprodotta con facilità per un $\alpha$ generico. Questo significa che le formule che abbiamo scritto sono valide per un qualsiasi $\alpha$.

 

L’angolo associato $\alpha + \pi$
Disegnamo la circonferenza goniometrica con gli angoli $\alpha$ e $\alpha + \pi$. Come prima, consideriamo $\alpha$ acuto, per semplicità di esposizione.

Abbiamo evidenziato seno e coseno di entrambi gli angoli, e vediamo che valgono le seguenti relazioni:
\begin{align*}
\sin ( \alpha + \pi ) & = - \sin \alpha \\
\cos ( \alpha + \pi ) & = - \cos \alpha
\end{align*}
A partire da queste identità possiamo ricavare anche le seguenti:
\begin{align*}
\tan (\alpha + \pi ) & = \tan (\alpha) \\
\cot (\alpha + \pi ) & = \cot (\alpha)
\end{align*}
In effetti, queste relazioni sono già note, dato che le funzioni tangente e cotangente sono periodiche di periodo $\pi$, per costruzione.

Anche in questo caso, nonostante la dimostrazione grafica che abbiamo dato sia valida solo per un angolo $\alpha$ acuto, si può mostrare la validità delle formule per un $\alpha$ qualsiasi.

 

E tutti gli altri archi associati?

Le formule per gli archi associati sono moltissime, e le abbiamo elencate nella pagina generale delle formule trigonometriche.

In ogni caso, per non essere costretti a imparare a memoria tutte le formule, vale la pena di fare le seguenti osservazioni che possono semplificarci un po’ la vita.

È possibile mostrare graficamente la validità di tutte le formule degli archi associati, in maniera analoga a come abbiamo mostrato le precedenti. Questo è particolarmente utile nella pratica, quando ci troviamo di fronte a un'espressione con un arco associato e vogliamo ricavare rapidamente la formula in merito. Facciamo alcuni esempi:

Tenendo presente che le funzioni seno e coseno sono rispettivamente funzioni dispari e pari, e che entrambe sono periodiche di periodo $2\pi$, è possibile ricavare tutte le formule degli archi associati utilizzando esclusivamente le formule che abbiamo dimostrato e qualche manipolazione algebrica.

Per esempio:$$\sin (\pi - \alpha) = \sin (\pi - \alpha - 2\pi) = \sin \left (- (\pi + \alpha) \right ) = - \sin (\pi + \alpha) = \sin \alpha$$Anche gli archi associati che coinvolgono $\frac{3 \pi}{2}$ possono essere ricavati in questo modo: $$\cos \left ( \alpha - \frac{3 \pi}{2} \right ) = \cos \left ( \alpha - \frac{3 \pi}{2} + 2\pi \right ) = \cos \left ( \alpha + \frac{\pi}{2} \right ) = - \sin \alpha$$

 

Legame con le formule di addizione e sottrazione

Un altro modo di ricavare le formule degli archi associati è quello di ricondursi all’utilizzo delle formule di addizione e sottrazione di due angoli generici $\alpha$ e $\beta$.
Per esempio, se volessimo calcolare $\sin \left ( \frac{\pi}{2} - \gamma \right )$, possiamo utilizzare la formula di sottrazione: $$\sin(\alpha - \beta)  = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta$$ponendo $\alpha = \frac{\pi}{2}$ e $\beta = \gamma$; otteniamo allora:
\begin{align*}
\sin  \left ( \frac{\pi}{2} - \gamma \right ) & = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos \gamma - \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin \gamma = \\
& = 1 \cdot \cos \gamma - 0 \cdot \sin \gamma = \\
& = \cos \gamma
\end{align*}

 

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