Studio di funzione

Asintoto obliquo

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Una funzione $f(x)$ che ha un dominio non limitato e che tende a infinito per $x \to \infty$, può avere asintoti obliqui.

Un asintoto obliquo è una retta obliqua (cioè, non orizzontale né verticale) a cui il grafico della funzione si avvicina sempre di più quando $x \rightarrow \infty$, come ad esempio nella figura sottostante:

Gli asintoti obliqui non esistono sempre:

  • se la funzione ha un insieme di definizione limitato non ha asintoti obliqui perchè $f(x)$ non è definita per $x \rightarrow \infty$;
  • se $f(x)$ è periodica (come il seno o il coseno) non ha asintoti obliqui;
  • se $f(x)$ ha asintoti orizzontali non ha asintoti obliqui;
  • se risulta $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $ non è comunque detto che la funzione abbia un asintoto obliquo, perchè non è detto che il suo grafico si avvicini sempre di più a una retta.

Come si fa quindi a riconoscere quando esiste un asintoto obliquo e a calcolarne l'equazione? Abbiamo bisogno di qualche definizione più precisa.

Una retta di equazione $y=mx+q$ con $m \neq 0$ è un asintoto obliquo per il grafico della funzione $f(x)$ se

$$ \boxed { \lim_{x \to \infty} \left| f(x) - (mx+q) \right| = 0 } $$

ossia se la differenza tra il valore di $f(x)$ e la corrispondente ordinata sulla retta $y=mx+q$ si annulla al tendere di $x$ verso l’infinito: questo significa che, nel piano cartesiano, il grafico della funzione $f$ e la retta rappresentata dall’equazione $ y = mx + q$ si avvicinano sempre più al tendere di $x$ all’infinito.

Supponiamo adesso che la funzione $f(x)$ che stiamo studiando ammetta un asintoto obliquo e vediamo come calcolarne il coefficiente angolare $m$ e l’intercetta $q$.

Osserviamo che se $ \lim_{x \to \infty} |f(x)-(mx+q)| = 0  $, allora vale anche (per l’algebra dei limiti): $$ \lim_{x \to \infty} \frac {|f(x)-mx-q|}{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} \left|\frac{f(x)}{x} - m - \frac{q}{x}\right| = 0 $$

E dato che $ \lim_{x \to \infty} m=m$ e $\lim_{x \to \infty} \dfrac {q} {x} = 0$, deve valere anche

$$ \lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} - m =0   \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x}= m$$

Quindi l’esistenza del limite finito $\lim_{x\to\infty} \dfrac {f(x)} {x} =m$ ci permette di calcolare il coefficiente angolare $m$ dell'asintoto.

Per trovare l’intercetta $q$ riprendiamo il limite iniziale e vediamo che:

$$ \lim_{x \to \infty} (f(x)-mx-q) = 0   \quad \Rightarrow \quad  \lim_{x \to \infty} (f(x) -mx) = q$$

Quindi se la funzione $f(x)$ ha un asintoto obliquo, i coefficienti $m$ e $q$ si trovano calcolando i due limiti:

$$ \boxed{\displaystyle{ m= \lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} }} \quad  \quad  \boxed{\displaystyle{ q= \lim_{x \to \infty} f(x) -mx} }$$

 

Viceversa se vogliamo verificare che $f(x)$ ha un asintoto obliquo, dobbiamo fare diversi controlli:

  1. Prima di tutto deve valere $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $$.
  2. Quindi dobbiamo calcolare $\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} $. Se questo limite esiste finito e non nullo allora abbiamo il coefficente angolare del possibile asintoto: $$ m = \lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} $$
  3. Infine dobbiamo calcolare $\lim_{x \to \infty} f(x) -mx$. Se anche questo limite esiste finito, allora l'asintoto esiste ed è dato dalla retta $y=mx+q$ con $$q= \lim_{x \to \infty} f(x) -mx$$.

Se quanto abbiamo detto vale solo per $x \to  - \infty$ si parla di asintoto obliquo sinistro, se invece vale solo per $x \to  + \infty$ si parla di asintoto obliquo destro.

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