In ambito commerciale esistono due tipi di sconto:
- Lo sconto mercantile
- Lo sconto commerciale
LO SCONTO MERCANTILE
Lo sconto mercantile è una riduzione di prezzo che il venditore applica al compratore.
Sono esempi di sconti mercantili gli sconti applicati in fattura sull’importo delle merci.
La relazione fondamentale per risolvere i problemi con lo sconto mercantile è:$$ \text{Prezzo listino } - \text{ Sconto mercantile } = \text{ Prezzo pagato}$$In questa formula:
- il Prezzo di listino è il prezzo dichiarato dal venditore prima di applicare lo sconto
- lo Sconto mercantile è lo sconto calcolato dal venditore sul prezzo di listino
- il Prezzo pagato è il prezzo effettivamente pagato dal compratore
La proporzione per calcolare lo sconto mercantile è:$$ 100 : r = \text{ Prezzo di listino} : \text{Sconto mercantile}$$Dove $r$ è il tasso di sconto mercantile; come si vede, il tasso è espresso in percentuale.
PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DELLO SCONTO MERCANTILE E DEL PREZZO PAGATO
Un tablet è esposto in un negozio con un prezzo di listino di 400 €. Sapendo che il negozio applica uno sconto del 5%, calcolare il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto del tablet.
Dati
Prezzo di listino = 400 €
r = 5%
Prezzo pagato = ?
Si calcola lo sconto impostando la proporzione: $$ 100 : 5 = 400 : X \ \Rightarrow \ X = \frac{400 \cdot 5} {100} = 20$$
Da qui ricaviamo che $\text{Prezzo pagato } = \text{ Prezzo di listino } - \text{ Sconto mercantile } = 400 - 20 = 380 $.
Il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto di un tablet è quindi di $380$ €
Per calcolare direttamente il prezzo pagato o per risolvere problemi inversi è necessario fare ricorso alla seguente proporzione:$$ 100 : (100 - r) = \text{ Prezzo di listino } : \text{ Prezzo pagato }$$oppure, usando le proprietà delle proporzioni, la proporzione equivalente$$ (100 - r) :100 = \text{ Prezzo pagato } : \text{ Prezzo di listino } $$
PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DEL PREZZO PAGATO
Risolvere il problema precedente in un unico passaggio.
Applichiamo la proporzione $100 : (100 - r) = \text{ Prezzo di listino } : \text{ Prezzo pagato }$ al problema precedente: $100 : 95 = 400 : X$, da cui arriviamo a $ X = \frac{400 \cdot 95 }{ 100 } = 380 $. Il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto di un tablet è 380 €
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL PREZZO DI LISTINO
Una famiglia ha pagato una vacanza al mare 2.250 €. Sapendo che ha ottenuto uno sconto del 10%, calcola il prezzo di listino.
Dati
Prezzo pagato = 2.250 €
r = 10%
Prezzo di listino = ?
Per risolvere questo problema, applichiamo la seguente proporzione: $100 : (100 - r) = \text{ Prezzo di listino } : \text{ Prezzo pagato}$. Sostituendo i dati in nostro possesso, otteniamo$$ 100 : (100 - 10) = X : 2250 \ \Rightarrow \ X = \frac{2250 \cdot 100}{90}$$Il prezzo di listino del viaggio è 2.500 €
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DELLO SCONTO MERCANTILE
Una squadra di calcio ha acquistato un set di magliette da allenamento pagando complessivamente 900 €. Sapendo che è stato applicato uno sconto del 10%, calcolare l’importo dello sconto ottenuto.
Dati
Prezzo pagato = 900 €
r = 10%
Sconto mercantile = ?
Ancora una volta, applichiamo una proporzione. Questa volta però, siccome dobbiamo calcolare l’importo dello sconto, è necessario usare la seguente:$$ (100 - r) : r = \text{ Prezzo pagato } : \text{ Sconto mercantile }$$Sostituendo i dati in nostro possesso, abbiamo la seguente formula:$$ 90 : 10 = 900 : X \ \Rightarrow \ X = \frac{900 \cdot 10 }{ 90 } = 100 $$Lo sconto ottenuto è di 100 €
LO SCONTO COMMERCIALE
Lo sconto commerciale è il compenso che spetta a chi paga un debito prima della scadenza. La differenza fondamentale fra sconto mercantile e sconto commerciale è che quest’ultimo dipende dal tempo.
La formula per calcolare l’importo dello sconto commerciale dipende pertanto da come si calcola il tempo. Abbiamo quindi quattro formule:
- $ Sc = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 100 }}$ se il tempo è espresso in anni
- $ Sc = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 1200 }}$ se il tempo è espresso in mesi
- $ Sc = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 36500 }}$ se il tempo è espresso in giorni calcolati secondo il calendario dell’anno civile
- $ Sc = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 36000 }}$ se il tempo è espresso in giorni calcolati secondo il calendario dell’anno commerciale (considerando tutti i mesi di 30 giorni)
In queste formule:
- $Sc$ è l’ammontare dello sconto commerciale
- $C$ è il valore nominale del debito, cioè l’importo intero che il debitore avrebbe dovuto pagare a scadenza
- $r$ è il tasso di sconto commerciale
- $t$ è il tempo di anticipo con cui si paga il debito
La somma pagata effettivamente dal debitore al creditore è detta Valore Attuale (che nelle formule indicheremo con $VA$); essa si calcola in questo modo:$$ VA = C - Sc $$Sostituendo a $Sc$ la formula dello sconto commerciale si ha: $VA = C – \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 100 }}$. Raccogliendo a fattor comune la $C$: $VA = C \cdot \displaystyle{\left( 1 - \frac{ r \cdot t }{ 100 }\right)}$. Calcolando il minimo comune denominatore dentro parentesi:$$ VA = C \cdot \left( \frac{100 - r \cdot t}{100} \right)$$Da notare che nella formula precedente abbiamo sottointeso che il tempo $t$ venisse calcolato in anni: se dovesse essere espresso in altre forme, come in mesi o giorni, al posto di $100$ bisognerà indicare il denominatore corretto, come illustrato in precedenza.
Possiamo anche rappresentare uno sconto commerciale graficamente. Avremo un diagramma di questo tipo:
PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DEL VALORE ATTUALE
Il 12 gennaio Tizio salda anticipatamente un proprio debito di 20.000 € scadente il 30 ottobre dello stesso anno. Sapendo che ha ottenuto uno sconto del 10%, calcolare la somma effettivamente pagata.
Impostiamo il grafico:
Si può risolvere il problema in due modi.
Il primo modo consiste nel calcolare prima lo sconto commerciale e poi il valore attuale.
È innanzitutto necessario determinare i giorni intercorrenti fra il 12 gennaio e il 30 ottobre:##KATEX##\begin{aligned} \text{Gennaio} & \quad 19 \\\text{Febbraio} & \quad 28 \\\text{Marzo} & \quad 31 \\\text{Aprile} & \quad 30 \\\text{Maggio} & \quad 31 \\\text{Giugno} & \quad 30 \\\text{Luglio} & \quad 31 \\\text{Agosto} & \quad 31 \\\text{Settembre} & \quad 30 \\\text{Ottobre} & \quad 30 \\& \quad 291\end{aligned}##KATEX##Siccome abbiamo calcolato il tempo trascorso come giorni di un anno solare, il denominatore delle formule per il calcolo dello sconto commerciale sarà $36500$: avremo quindi$$Sc = \frac{C \cdot r \cdot t }{ 36500} = \frac{20.000 \cdot 10 \cdot 291 }{ 36500 }= 1594,52$$Quindi si procede a calcolare il Valore Attuale:$$ VA = C - Sc = 20.000 - 1.594,52 = 18.405,48$$Il secondo modo consiste nell’applicare la formula del Valore Attuale:$$VA = C \cdot \left(\frac{36500 – r \cdot t }{36500}\right) = 20.000 \cdot \left(\frac{36.500 - 10 \cdot 291 }{ 36.500}\right) = 18.405, 48$$La somma effettivamente pagata dal debitore è quindi di 18.405,48 €
È possibile ricavare le seguenti formule inverse dello Sconto Commerciale:##KATEX##\begin{aligned}C = Sc \cdot \frac{100 }{ r} \cdot t \\r = Sc \cdot \frac{100 }{ C} \cdot t \\t = Sc \cdot \frac{100 }{ C } \cdot r\end{aligned}##KATEX##
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL VALORE NOMINALE DEL DEBITO
Tizio ha pagato un debito in anticipo di 30 mesi ottenendo uno sconto del 6%. Sapendo che lo sconto ottenuto ammonta a 7.500 €, calcolare l’importo del debito.
Graficamente:
Applicando la formula inversa del valore nominale (e prestando attenzione al fatto che il tempo è calcolato in mesi):$$ C = Sc \cdot \frac{1200 }{ r } \cdot t = 7.500 \cdot \frac {1.200 }{ 6 } \cdot 30 = 50000 $$Il valore nominale del debito è quindi di 50.000 €
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL TASSO DI SCONTO
Caio paga 23.700 € per estinguere un proprio debito di 30.000 € scadente dopo 3 anni. Calcolare il tasso di sconto applicato.
Graficamente:
È necessario calcolare innanzitutto lo sconto commerciale: applicando la formula di definizione, abbiamo che$$Sc = C - VA = 30.000 - 23.700 = 6.300$$Applicando ora la formula inversa del tasso di sconto: siccome il tempo è espresso in anni, il denominatore sarà 100. Otteniamo quindi$$ r = Sc \cdot \frac{ 100 }{ C }\cdot{ t } = 6.300 \cdot \frac{ 100 }{ 30.000 } \cdot 3 = 7$$Il tasso di sconto applicato è del $7\%$.
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL TEMPO
Sempronio paga anticipatamente un proprio debito di 6.000 € ottenendo uno sconto di 960 €. Sapendo che il tasso di sconto applicato è dell’8%, calcolare i giorni di anticipo con cui è stato pagato il debito.
Graficamente:
Calcolaremo il tempo in giorni; applicando la formula inversa per ottenere il tempo, quindi, abbiamo che$$ t = Sc \cdot \frac{100 }{ C } \cdot r = 960 \cdot \frac{ 36.500 }{ 6.000 } \cdot 8 = 730$$Il debito è stato pagato con un anticipo di 730 giorni.
È infine possibile ricavare la formula inversa per calcolare il valore nominale del debito, quando sono noti il valore attuale, il tasso di sconto e il tempo. Dalla definizione di sconto commercialeabbiamo ricavato che $VA = C \cdot \displaystyle{\left(\frac{100 - r \cdot t }{ 100 }\right)}$. Esplicitanto ora il valore nominale $C$, si ha che:$$ C = VA \cdot \frac{ 100 }{100 - r \cdot t}$$In questa formula, il tempo viene calcolato in anni; se venisse calcolato in altre unità, sostituire a $100$ il corrispettivo valore.
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL VALORE NOMINALE DEL DEBITO
Ambrogio paga con un anticipo di 20 mesi un debito su cui ottiene uno sconto del 12%. Sapendo che Ambrogio ha pagato effettivamente 32.000 €, calcolare l’importo del debito.
Graficamente:
Il tempo viene calcolare in mesi: applicando correttamente la formula inversa per calcolare $C$ si ottiene:$$C = VA \cdot \frac{1200 }{1200 - r \cdot t} = 32000 \cdot \frac{ 1200 }{ 1200 - 12 * 20} = 40.000$$Il valore nominale del debito è quindi di 40.000 €