Elettromagnetismo

Collegamento in parallelo di componenti elettrici: resistenze

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I vari componenti di un circuito elettrico possono essere collegati in due modi: in serie o in parallelo. I componenti in serie sono stati trattati nella lezione precedente, mentre ora parleremo di componenti in parallelo.
Due componenti si dicono collegati in parallelo quando la tensione elettrica tra i loro estremi risulta la medesima. Con riferimento alla figura seguente è facile comprendere perchè si dica “in parallelo”:

Come nel caso dei collegamenti in serie, è possibile collegare più di due elementi in parallelo.

La domanda che ci poniamo è la seguente: se colleghiamo in parallelo due (o più) resistenze $R_1$, $R_2$, $\dots$, possiamo dire che il collegamento in parallelo delle resistenze sia equivalente ad un’unica resistenza $R_{\text{eq.}}$? E quanto vale questa resistenza equivalente?

Ricordiamo che, nel caso di resistenze in serie, abbiamo risposto affermativamente ad entrembe le domande, scoprendo che resistenze collegate in serie sono pari ad un’unica resistenza che ha per valore la somma delle resistenze in gioco.

Per rispondere invece al caso di resistenze in parallelo, limitiamoci dapprima al caso di due componenti resistivi collegati in parallelo, di valore noto $R_1$ ed $R_2$. Supponiamo che alle estremità di questo collegamento sia applicata una differenza di potenziale nota pari a $V$. Il tutto è rappresentato dalla figura seguente:

Per la prima legge di Ohm, in $R_1$ circola una corrente $I_1 = \frac{V}{R_1}$, e similmente $R_2$ è attraversato dalla corrente $I_2 = \frac{V}{R_2}$: si noti come la differenza di potenziale sia la medesima, come prescrive la definizione di collegamento in parallelo; da queste relazioni ricaviamo anche che $R_1 = \frac{V}{I_1}$ e $R_2 = \frac{V}{I_2}$. Nella sua interezza, il circuito è attraversato da una corrente $I$ pari alla somma di $I_1$ e $I_2$: $I=I_1 + I_2$. Di conseguenza, sempre per la prima legge di Ohm, l’intero circuito offre una resistenza pari a $R_{\text{eq.}} = \frac{V}{I} = \frac{V}{I_1 + I_2}$. Manipoliamo algebricamente questa equazione:$$ R_{\text{eq.}} = \frac{V}{I_1 + I_2} \ \Rightarrow \ \frac{1}{R_{\text{eq.}}} = \frac{I_1 + I_2}{V} = \frac{I_1}{V} + \frac{I_2}{V} $$Sostituendo le relazioni prima trovate per le singole correnti $I_1$ e $I_2$ nell’ultima equazione, troviamo che$$ \frac{1}{R_{\text{eq.}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$Se disponessimo di più di due resistenze collegate in parallelo, seguendo un ragionamento del tutto analogo otterremmo il seguente risultato: il reciproco del valore della resistenza equivalente di resistenze collegate in parallelo è pari alla somma dei reciproci dei valori delle singole resistenze. In una formula:$$ \frac{1}{R_{\text{eq.}}} = \sum_i \frac{1}{R_i} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$$Nel video proviamo la validità di questa legge collegando in parallelo due resistenze, e valutando la resistenza del circuito con l’aiuto di un multimetro.

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