Geometria analitica

Parabola: equazione e rappresentazione

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La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco ($F$) e da una retta data, la direttrice.

Per trovare l’equazione della parabola basta riscrivere questa definizione sfruttando un sistema di coordinate cartesiane:

$$ P \in \text{parabola} \Leftrightarrow d(P, F) = d (P, \text{direttrice})$$

Scegliendo una direttrice parallela all’asse delle $x$ e un fuoco sull’asse $y$, svolgendo i calcoli si trova l’equazione della parabola

$$ y = a x^2 + b x + c$$

dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali ($a \neq 0$) chiamati descrittori algebrici perché descrivono e determinano la forma e la posizione della parabola. In particolare:

se $ a>0 $ la concavità è rivolta verso l’alto, se $ a<0 $ verso il basso;

il modulo di $a$ fissa l’apertura: la parabola è tanto più stretta quanto più il modulo di $a$ è grande;

$c$ è l’ordinata del punto in cui la parabola interseca l’asse $y$;

$b$ è legato a vertice, fuoco e asse di simmetria;

Chiamiamo ora $\Delta = b^2 - 4 ac$. Allora le coordinate del vertice sono $$V \equiv \left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$$ quelle del fuoco sono $$ F \equiv \left(-\frac{b}{2a} ; \frac{1 - \Delta}{4a} \right)$$ l’asse di simmetria è la retta verticale di equazione $$ x = - \frac{b}{2a} $$ mentre la direttrice è la retta orizzontale di equazione $$ y = - \frac{1 + \Delta}{4a}$$.

Con queste conoscenze è possibile svolgere la maggior parte degli esercizi sulle parabole; l’unica nozione non illustrata in questo video è la retta tangente a una parabola, che merita una lezione a parte.

 

In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math



 

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