Disequazioni fratte di secondo grado

Nella lezione precedente abbiamo illustrato il procedimento che sta dietro alla risoluzione delle disequazioni fratte (dette anche razionali), ma abbiamo trattato solo il caso il cui numeratore e denominatore siano polinomi di primo grado in una sola variabile. Ora invece ci occupiamo del caso più generale, mostrando quale sia il procedimento più opportuno per risolvere la disequazione in questione caso per caso, e mettendo in luce gli errori più comuni.
Ricordiamo comunque che i passi da seguire, in generale, sono i seguenti:

  1. Svolgere tutti i passaggi algebrici di modo che, al termine della loro esecuzione, la disequazione si presenti nella cosiddetta forma normale: una sola frazione algebrica confrontata con $0$, ossia una di queste quattro seguenti disequazioni:$$ \frac{N(x)}{D(x)} >0, \quad \frac{N(x)}{D(x)} \geq 0, \quad \frac{N(x)}{D(x)} < 0, \quad \frac{N(x)}{D(x)} \leq 0$$
  2. Scomporre in fattori irriducibili numeratore $N(x)$ e denominatore $D(x)$ della frazione ottenuta al passo precendente.
  3. Analizzare il segno di ciascun fattore irriducibile, indipendentemente dal segno che compare nella disequazione: a questo punto ci interessa scoprire dove ciascun fattore assume valori positivi e dove negativi. Avremo cura di rappresentare il tutto nel cosiddetto schema dei segni, una retta numerica in cui indichiamo con $+$ gli intervalli in cui un fattore assume valori positivi, e con un $-$ quelli in cui invece assume valori negativi. Svolgere questo tipo di analisi tipicamente potrebbe portare alla risoluzione di disequazioni di primo o secondo grado.
  4. Calcolare il segno della frazione algebrica, mediante la regola dei segni.
  5. Solo a questo punto, confrontare i segni ottenuti con quello richiesto dalla disequazione ottenuta al punto 1: l’insieme dei valori per cui il segno coincide con quello richiesto rappresenta la soluzione della disequazione fratta.