Equazioni e disequazioni

Le disequazioni fratte

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Tra le disequazioni che si possono affrontare negli esercizi, si incontrano frequentemente le disequazioni frazionarie, o disequazioni fratte. Questa tipologia di disequazioni è caratterizzata dal fatto che al suo interno sono presenti uno o più termini in cui compare l’incognita al denominatore.

L’errore più frequente che viene commesso quando si vuole risolvere una disequazione frazionaria, specialmente all’inizio, è quello di pensare che si possa risolvere come se fosse una equazione frazionaria: cioè, che una volta poste le condizioni di esistenza si possano “eliminare i denominatori” e procedere alla risoluzione della disequazione osservando solo i numeratori. Questo, come vedremo, è assolutamente errato, dato che il denominatore cambia di segno al variare dell’incognita, e quindi influisce sul risultato finale della disequazione.

 

Procedimento generale per risolvere una disequazione frazionaria

Possiamo stabilire un metodo generale (valido nella maggior parte dei casi) per risolvere le disequazioni frazionarie, suddiviso in 4 passi.

  1. Stabilire le condizioni di esistenza della disequazione, ponendo i denominatori diversi da zero.
  2. Portare la disequazione in forma normale. Spostiamo quindi tutti i termini a sinistra del segno di disuguaglianza, lasciando a destra zero; tra i termini al primo membro facciamo denominatore comune, in modo da arrivare ad avere un’espressione del tipo $$\frac{N(x)}{D(x)}$$con $N(x), D(x)$ espressioni che contengono $x$.
  3. Studiamo il segno di $\frac{N(x)}{D(x)}$. Per fare questo, studiamo separatamente il numeratore $N(x)$ e denominatore $D(x)$ (a volte questi termini potranno essere composti da più fattori, da studiare uno per uno). Il risultato dello studio sarà uno schema del segno, dal quale potremo facilmente trarre informazioni sul segno della frazione.
  4. Confrontiamo la richiesta della disequazione (ovvero, il verso del simbolo di disuguaglianza posto dopo $\frac{N(x)}{D(x)}$) con quanto ottenuto nello schema del segno, e determiniamo l’insieme delle soluzioni della disequazione.

Si noti che questo procedimento è lo stesso che si deve seguire anche in presenza di parametri: il metodo di risoluzione delle disequazioni letterali fratte è essenzialmente uguale.

Applicazione pratica del metodo generale
Vogliamo risolvere la disequazione: $$\frac{1}{x-2} - \frac{2}{x-3} \leq \frac{x-5}{x^2-5x+6}$$

  1. I denominatori presenti in questa disequazione sono $x-2, x-3, x^2-5x+6$, e devono essere posti tutti diversi da zero per garantire l’esistenza della disequazione: $$\begin{cases} x-2 \neq 0 \\ x-3 \neq 0 \\ x^2-5x+6 \neq 0 \end{cases}$$Il polinomio di secondo grado ha soluzioni $3$ e $2$, quindi il sistema diventa equivalente al seguente: $$\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq 3 \\ x \neq 2 \vee x \neq 3 \end{cases}$$Di conseguenza le condizioni di esistenza della nostra disequazione sono $x \neq 2 \vee x \neq 3$.
  2. Svolgiamo i conti per portare la disequazione in forma normale. Per prima cosa portiamo tutti i termini a sinistra: $$\frac{1}{x-2} - \frac{2}{x-3} - \frac{x-5}{x^2-5x+6} \leq 0$$Adesso facciamo denominatore comune: dato che $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$, questo polinomio è proprio il denominatore comune che stiamo cercando.
    \begin{align*}
    \frac{1}{x-2} - \frac{2}{x-3} - \frac{x-5}{(x-2)(x-3)} & \leq 0 \\
    \frac{x-3 - 2 \cdot (x-2) - (x-5)}{(x-2)(x-3)} & \leq 0 \\
    \frac{x-3 - 2x+4 - x+5}{(x-2)(x-3)} & \leq 0 \\
    \frac{- 2x + 6}{(x-2)(x-3)} & \leq 0
    \end{align*}
    Siamo di fronte a un’espressione del tipo $\frac{N(x)}{D(x)}$, dove $N(x) = - 2x + 6$ e $D(x) = (x-2)(x-3)$.
  3. Dobbiamo studiare il segno della frazione $\frac{- 2x + 6}{(x-2)(x-3)}$. Partiamo dal numeratore $N(x) = -2x+6$, e ci chiediamo: quand’è che questo termine è positivo? Ci chiediamo, cioè, per quali $x$ è verificata la disequazione $-2x+6 > 0$. Questa è una disequazione di primo grado, che ha come soluzione $x < 3$, e quindi:
    \begin{align*}
    N(x) > 0 & \quad \Leftrightarrow \quad x < 3 \\
    N(x) < 0 & \quad \Leftrightarrow \quad x > 3 \\
    N(x) = 0 & \quad \Leftrightarrow \quad x = 3
    \end{align*}
    Guardiamo ora il denominatore $D(x) = (x-3)(x-2)$: esso è composto da due termini $D_1(x) = x-3$ e $D_2(x) = x-2$, che vanno analizzati separatamente. Seguendo un ragionamento simile a quello che abbiamo fatto per il numeratore, abbiamo:
    \begin{align*}
    D_1(x) > 0 & \Leftrightarrow x > 3 \qquad \qquad & D_2(x) > 0 \Leftrightarrow x > 2 \\
    D_1(x) < 0 & \Leftrightarrow x < 3 \qquad \qquad & D_2(x) < 0 \Leftrightarrow x < 2 \\
    D_1(x) = 0 & \Leftrightarrow x = 3 \qquad \qquad & D_2(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2
    \end{align*}
    Siamo pronti per trascrivere i risultati che abbiamo ottenuto nello schema del segno della disequazione. Lo schema si costruisce rappresentando la linea dei numeri reali, evidenziando su di essa i numeri che rappresentano un “punto di svolta” nel segno dei termini che abbiamo visto prima. Sotto di essa, tracciamo una linea per ogni termine di cui abbiamo studiato il segno (in questo caso, ne tracciamo tre, dato che abbiamo analizzato $N(x), D_1(x), D_2(x)$): questa linea sarà continua quando il termine corrispondente è positivo, e tratteggiata quando sarà negativo.



    Nella riga del numeratore abbiamo posto un pallino vuoto in corrispondenza del numero $3$. In genere, si usa questa notazione per evidenziare i valori in cui il numeratore $N(x)$ si annulla.
    Notiamo inoltre che in corrispondenza dei valori per cui il denominatore si annulla (in questo caso, $2$ e $3$) abbiamo posto una croce. Con questo vogliamo intendere che quei valori non vanno considerati per alcun motivo all’interno delle soluzioni: infatti questi sono i valori che abbiamo escluso con le condizioni di esistenza.
    A questo punto siamo pronti per completare lo schema del segno. Allunghiamo le linee corrispondenti a ciascun valore evidenziato sulla linea dei numeri, e tracciamo una croce se ce n’è almeno una su quella riga. Successivamente, scriviamo “$+$” oppure “$-$” a seconda che il numero di linee tratteggiate in ciascuno spazio sia pari o dispari, rispettivamente.



    I segni che abbiamo scritto corrispondono proprio al segno che assume $\frac{N(x)}{D(x)}$, al variare di $x$.
  4. La disequazione presenta il simbolo “$\leq$”, e quindi dobbiamo cercare i valori di $x$ per cui la frazione $\frac{N(x)}{D(x)}$ è negativa o nulla. Dallo schema del segno notiamo che non ci sono valori per cui la frazione si annulli, mentre invece la frazione è negativa tra $2$ e $3$ e anche dopo $3$. Quindi l’insieme delle soluzioni è:$$ S: 2 < x < 3 \vee x > 3. $$


Facciamo alcune osservazioni relative all’esercizio appena risolto.

  • Nello studio del segno della frazione, abbiamo studiato separatamente $D_1(x)$ e $D_2(x)$. Avremmo potuto anche studiare $D(x) = D_1(x) \cdot D_2(x)$ come un blocco unico, risolvendo la disequazione di secondo grado $x^2 - 5x + 6 > 0$; in ogni caso saremmo arrivati alle stesse conclusioni.
  • Notiamo che: $$\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{- 2x + 6}{(x-2)(x-3)} = \frac{- 2(x -3)}{(x-2)(x-3)}$$Arrivati a questo punto, avremmo potuto semplificare il fattore $x-3$, ottenendo $-\frac{2}{x-2}$. La disequazione frazionaria sarebbe diventata quindi: $$-\frac{2}{x-2} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x-2} \geq 0$$che ha come soluzione $x > 2$. Notiamo però che questa NON è la soluzione che abbiamo ottenuto noi: infatti, la soluzione $S$ della disequazione frazionaria è l’intervallo definito da $x > 2$, escluso però il numero $3$. Questo accade perché la disequazione frazionaria è sempre soggetta alle condizioni di esistenza, e tra esse compare la richiesta $x \neq 3$, che non può essere ignorata.


Ribadiamo che il metodo che abbiamo esposto si applica per la risoluzione di una disequazione fratta generica, ma ovviamente è possibile trovare disequazioni frazionarie strutturate in maniera leggermente diversa, e che richiedono più attenzione nel risolverle.

Per chi volesse approfondire ulteriormente l’argomento, a questa pagina abbiamo svolto un altro esercizio con una disequazione frazionaria.

 

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