Geometria analitica

Distanza di un punto da una retta: spiegazione e esempi

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Per calcolare la distanza di un punto da una retta conviene utilizzare la formula apposita per quanto sia complicata. Cominciamo con lo scriverla e poi vediamo come si utilizza. Dato un punto $P \equiv (x_P;y_P)$ e una retta $r$ di equazione $ax+by+c=0$ la distanza di $P$ da $r$ è data da $$dist (P,r) = \frac{|a x_P+b y_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Per esempio calcoliamo la distanza del punto $P \equiv (-2,1)$ dalla retta $r$ di equazione $3x+4y-3=0$. Cominciamo con l’identificare i coefficienti: $a=3$, $b=4$, $c=-7$, mentre le coordinate del punto sono $x_P=-2$ e $y_P=1$. Quindi sostituendo abbiamo $$dist (P,r)=\frac{|3\cdot(-2)+4\cdot1-3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-5|}{\sqrt{25}}=\frac{5}{5}=1$$ Questo esempio mostra come il valore assoluto sia indispensabile per evitare che il risultato sia negativo: una distanza infatti può essere soltanto positiva.

 

Nel caso la retta sia fornita in forma esplicita è necessario convertire prima l’equazione in forma implicita portando tutti i termini dalla stessa parte dell’uguale e poi si può procedere come nell'esempio precedente. Per esercizio calcoliamo la distanza di $P \equiv (2;-3)$ da $y=\frac{5}{12}x-\frac{7}{12}$. La retta in forma implicita diventa $\frac{5}{12}x-y-\frac{7}{12}=0$, quindi $a=\frac{5}{12}$, $b=-1$ e $c=-\frac{7}{12}$. Di conseguenza la distanza diventa: $$dist (P,r)=\frac{ \left |\frac{5}{12}\cdot2-(-3)-\frac{7}{12} \right | }{\sqrt{\frac{25}{144}+1}}=\frac{\frac{39}{12}}{\frac{13}{12}}=3$$

L’importanza di questa formula, in sé piuttosto sterile, è dovuta al fatto che rientra in molti problemi di geometria analitica del piano. E’ quindi assolutamente indispensabile memorizzarla e ricordare come si utilizza correttamente.

 

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