Geometria analitica

Equazione della retta: forma implicita e forma esplicita

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Il modo più comune di presentare una retta nel piano è attraverso la sua equazione espressa in forma esplicita $y=mx+q$.

 

Ad ogni equazione di questo tipo corrisponde una e una sola retta del piano. Non è però vero l’inverso, cioè che ogni retta del piano è individuata da una equazione in forma esplicita. Tutte le rette verticali infatti sono del tipo $x=a$, relazione che non può essere ricondotta attraverso passaggi algebrici a una struttura $y=mx+q$.

 

C’è allora un problema di generalità, la forma esplicita non è abbastanza “potente” da comprendere al proprio interno tutte le possibili di rette del piano. Esiste però una generalizzazione che consente di ovviare a questo fatto: la forma implicita

 

$$ ax+by+c=0 $$

 

Le rette orizzontali costituiscono il caso specifico in cui $a = 0$ e $b\neq 0$, mentre quelle verticali sono tali per cui $b=0$ e $a \neq 0$. Se sia $a\neq 0$ sia $b\neq 0$ si hanno le rette non parallele agli assi cartesiani.

Attraverso alcuni passaggi possiamo inoltre verificare come anche la forma esplicita non è altro che un caso particolare di quella implicita.

  • Scriviamo la forma esplicita $$y=mx+q$$
  • Portiamo a primo membro tutti i termini $$y-mx-q=0$$
  • Riordianiamo i termini come nella forma implicita $$-mx+y-q=0$$

Dal confronto diretto tra le formule ricaviamo $a=-m$, $b=1$, $c=-q$.

Per il passaggio inverso che consente di ottenere la forma esplicita a partire da quella implicita avremmo invece i seguenti passi.

  • Scriviamo la forma implicita $$ax+by+c=0$$
  • Isoliamo il termine in y $$by=-ax-c$$
  • Questo passaggio è possibile soltanto se $b\neq0$! In tal caso $$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$

Ricaviamo dunque che $m = -\frac{a}{b}$ e $q = -\frac{c}{b}$.

Risulta allora evidente la ragione per cui una retta verticale non può essere scritta in forma esplicita: la conversione non è possibile perché non è possibile la divisione per zero.

 

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