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Equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee

Un’equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea si presenta nella forma$$ y’’(x) + b y’(x) + c y(x) = f(x) $$Il metodo di risoluzione di questa tipologia di equazioni va sotto il nome di “metodo di variazione delle costanti arbitrarie”, e si risolvono seguendo questo schema:

  1. Innanzitutto, trovare la soluzione generale dell’equazione omogenea associata. Facendo riferimento alla formula precedente, questa è $$ y’’(x) + b y’(x) + c y(x) = 0 $$Questa è un’equazione di secondo ordine omogenea, che ciascuno risolve con il metodo che ritiene più opportuno. Chiamiamo la soluzione trovata a questo passo $y_0(x)$; in generale, $y_0(x)$ si presenterà nella forma $$ y_0(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x).$$
  2. Trovare una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, che chiamiamo $y_P(x)$, espressa nella $$ y_P(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x)$$Le due funzioni $y_1(x)$ ed $y_1(x)$ sono quelle scoperte al passo precedente. Ma questa volta, al posto delle costanti $c_1$ e $c_2$ appaiono delle funzioni $c_1(x) $ e $c_2(x)$, che sono proprio le nostre “costanti arbitrarie”, e che sono, al momento, incognite. Per determinare tali funzioni è necessario risolvere il sistema di equazioni differenziali $$ \begin{cases} c’_1(x) y_1(x) + c’_2(x) y_2(x)= 0 \\ c’_1(x) y’_1(x) + c’_2(x) y’_2(x) = f(x) \end{cases}$$La risoluzione di questo sistema richiede, di solito, lo svolgimento di equazioni differenziali lineari del primo ordine o a variabili separabili.
  3. Una volta determinata sia $y_0 (x)$ che una $y_P(x)$, la solulzione generale dell’equazione di partenza si ottiene sommando quest’ultime due:$$ y(x) = y_0(x) + y_P(x)$$