Un’equazione letterale fratta è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche che comprendono una frazione fra polinomi in cui, oltre che l’incognita (di solito rappresentata dalla lettera $x$), appaiono anche altre lettere, dette parametri. In una disequazione parametrica frazionaria il segno $=$ è sostituito da uno dei quattro segni di disuguaglianza: $<$, $>$, $\leq$ o $\geq$. Sono anche note sotto il nome di equazioni o disequazioni parametriche “frazionarie” o “razionali”, e al posto di “letterale” spesso si trova anche detto “parametrica”.
Per trovare la soluzione di una equazione o di una disequazione frazionaria con parametro è necessario innanzitutto avere una certa familiarità con il caso in cui i parametri siano assenti: stiamo parlando, in generale, di equazioni o di disequazioni frazionarie. Ricordiamo che la soluzione di una equazione o di una disequazione è quell’insieme di valori che l’incognita può assumere i quali rendono vera l’uguaglianza o la disuguaglianza indicata.
Possiamo indicare in pochi punti un procedimento generale che permette di raggiungere la soluzione dell’espressione algebrica che abbiamo di fronte.
- Prima di tutto, è necessario porre le condizioni di esistenza per le frazioni algebriche presenti nell’espressione: tutti i denominatori devono essere posti diversi da zero.
- Trasformare l’espressione in forma normale: spostiamo tutti i termini da un lato dell’espressione ed effettuiamo la somma algebrica delle frazioni coinvolte (questo può richiedere il calcolo del minimo comune multiplo dei vari denominatori), in modo da ottenere, da una parte del simbolo di uguaglianza o disuguaglianza, un’espressione del tipo $ \frac{N(x)}{D(x)}$ mentre dall’altro lato è presente solo lo $0$. In questo caso, $N$ e $D$ sono espressioni che contengono sia l’incognita $x$ sia i parametri.
- Se siamo di fronte ad un’equazione, occorre annullare il numeratore $N$; se si tratta di una disequazione, occorre procedere allo studio del segno della frazione, come se si trattasse di una ordinaria disequazione fratta: in questo modo perverremo ad una soluzione provvisoria. Si deve prestare particolare attenzione, tuttavia, poichè le soluzioni, in generale, conterranno i parametri coinvolti nell’espressione originale. La presenza dei parametri potrebbe rendere necessaria una discussione sulla soluzione.
- La soluzione del punto 3 l’abbiamo chiamata “provvisoria” poichè è possibile che, per alcuni valori dei parametri in gioco, la soluzione trovata venga a confliggere con le condizioni di esistenza: queste condizioni aggiuntive si chiamano di solito condizioni di accettabilità, poichè ci indicano se una soluzione che abbiamo legittimamente trovato è o non è accettabile a causa delle condizioni che abbiamo posto in principio.
Alcuni esempi sono necessari per comprendere correttamente la portata di questa tipologia di esercizi.
Esempio 1
Risolvere la disequazione$$ \frac{x^2 - 2ax -3a^2}{x^2-4a^2} \geq 0$$L’incognita è $x$, mentre il parametro è la lettera $a$.
- Innanzitutto poniamo le condizioni di esistenza: bisogna che $x^2-4a^2 \neq 0$. Possiamo riconoscere nel membro di sinistra un prodotto notevole (la differenza di due quadrati), e quindi scrivere $(x-2a)(x+2a) \neq 0$, che è verificata per $x = \pm 2a$: queste sono le nostre condizioni di esistenza.
- La disequazione è già in forma normale.
- Siccome siamo di fronte ad una disequazione, studiamo il segno della frazione algebrica. Abbiamo $N(x) = x^2 - 2ax -3a^2$ e $D(x) = x^2-4a^2$. Sono entrambi polinomi di secondo grado, e, grazie alla teoria generale delle disequazioni di secondo grado, sappiamo che essi hanno segno positivo per valori esterni alle radici, le quali sono $-a$ e $3a$ per $N$ e $-2a$ e $2a$ per $D$. Tuttavia, occorre prestare attenzione: studiare il segno di uno di questi polinomi porta a risolvere una disequazione parametrica di secondo grado, in cui il parametro gioca un ruolo fondamentale.
Infatti, se $a > 0$, le radici si presentano nell’ordine $-2a < -a < 2a < 3a$, e lo schema dei segni è quindi illustrato nella figura seguente:
Confrontando la richiesta della disequazione, la soluzione, provvisoria, è data da $x < -2a \vee -a \leq x < 2a \vee x \geq 3a$.
Se $a < 0$, invece, le radici compaiono nell’ordine inverso: $3a < 2a < -a < -2a$. Con rapidi passaggi si arriva alla soluzione $x \leq 3a \vee 2a < x \leq -a \vee x > -2a$
Infine, abbiamo il caso $a = 0$: in questo caso, la disequazione di partenza diventa $\frac{x^2}{x^2} \geq 0$, che si riduce a $1 \geq 0$, il che è vero. La soluzione (sempre provvisoria) è quindi $\forall x \in \mathbb{R}$. - Confrontiamo le soluzioni trovate al punto 3 con le condizioni di esistenza: se $a >0 $ o $a<0$, non è possibile che $x = \pm 2a$ per i segni di disuguaglianza stretta. Se invece $a=0$, non tutti i valori di $x$ sono accettabili: siccome $\pm 2a = 0$, occorre rimuovere $x=0$. Riassumiamo la soluzione trovata nel seguente schema:##KATEX##\begin{aligned} x < -2a \vee -a \leq x < 2a \vee x \geq 3a & \quad \text{se } a > 0 \\ x \neq 0 & \quad \text{se } a = 0 \\ x \leq 3a \vee 2a < x \leq -a \vee x > -2a & \quad \text{se } a < 0 \end{aligned}##KATEX##
Esempio 2
Risolvere l’equazione parametrica fratta$$ \frac{x-b}{x+b} - \frac{x+2b}{x-2b} = 3$$L’incognita è $x$, mentre il parametro è $b$.
- Le condizioni di esistenza si trovano imponendo i denominatori diversi da zero: nel nostro caso avremo quindi $x \neq -b \wedge x \neq 2b$.
- Cerchiamo di trasformare l’espressione in forma normale:
##KATEX##\begin{aligned} & \frac{x-b}{x+b} - \frac{x+2b}{x-2b} = 3 \\ & \frac{x-b}{x+b} - \frac{x+2b}{x-2b} -3 = 0 \\ & \frac{(x-b)(x-2b) - (x+2b)(x+b) -3(x+b)(x-2b)}{(x+b)(x-2b)} = 0 \\ & \frac{-3x^2 -3bx +6b^2}{(x+b)(x-2b)} = 0 \\ \end{aligned}##KATEX## - Una frazione algebrica si annulla quando se ne annulla il numeratore: poniamo quindi $-3x^2 -3bx +6b^2 = 0$ (che è una equazione parametrica di secondo grado), e troviamo le soluzioni $x = -2b \vee x = b$.
- Le soluzioni vanno confrontate con le condizioni di esistenza: dobbiamo controllare quando $b = -b$, $b = 2b$, $-2b = -b$ oppure $-2b = 2b$. Tutte queste equazioni hanno un’unica soluzione, $b=0$, che andrà trattata quindi separatamente. In tutti i casi in cui $b \neq 0$, le soluzioni trovate ($x = -2b \vee x = b$) sono accettabili; nel caso in cui $b=0$, le soluzioni trovate coincidono proprio con l’unica condizione di esistenza residua: l’equazione non ha soluzione, ed è quindi impossibile. La soluzione dell’equazione è quindi riassumibile nel seguente schema:##KATEX##\begin{aligned} x = -2b \vee x = b & \quad \text{se } b \neq 0 \\ \text{impossibile }& \quad \text{se } b = 0 \end{aligned}##KATEX##