Equazioni e disequazioni

Equazioni con il valore assoluto

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Una tipologia di equazioni che spesso viene assegnata come esercizio è quella delle equazioni con valore assoluto. Questo tipo di equazioni spesso spaventano molto gli studenti che le affrontano, dato che in esse - come dice il nome - c’è almeno un valore assoluto e spesso non si sa come gestirlo nella giusta maniera.

In questa lezione vedremo prima cosa significa davvero mettere in modulo (cioè nel valore assoluto) numeri ed espressioni arbitrarie. Successivamente vedremo come una qualsiasi equazione con uno o più valori assoluti si riconduce sempre all’unione di due o più sistemi misti (cioè, composti da equazioni e disequazioni): se si sa impostare bene il problema, quindi, risolvere un’equazione con valore assoluto è in realtà come risolvere contemporaneamente due o più equazioni che non lo contengono (a patto di tener presente alcune condizioni aggiuntive).


Definizione

Chiamiamo valore assoluto (o anche modulo) la funzione che si indica con $$| \ \bullet \ |: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ che ad un numero reale $a \neq 0$ associa $|a|$, che è $a$ stesso privato del segno (cioè, il valore positivo che si ottiene guardando “solo il numero” che rappresenta $a$). Se invece $a = 0$, allora semplicemente $|a| = 0$.
Chiameremo inoltre argomento del valore assoluto la quantità che è posta tra i simboli $|\ \ |$.


Al di là della definizione che abbiamo appena dato, che è abbastanza formale, possiamo vedere il valore assoluto in questo modo: dato un numero reale $a$, abbiamo: $$|a| = \begin{cases}\  a & \quad \text{se $a \geq 0$} \\ -a & \quad \text{se $a<0$} \end{cases}$$In sostanza, quando abbiamo a che fare con il valore assoluto $|a|$ di $a$ sappiamo che:

  • $|a|$ è sempre positivo o nullo, qualunque sia $a$;
  • non possiamo esprimere $|a|$ con una scrittura che non utilizzi il valore assoluto senza sapere prima il segno dell’argomento $a$ (dato che potrebbe essere alternativamente $|a| = a$ oppure $|a| = -a$).


Facciamo alcuni esempi:

  • Se $a = 2$, allora $|a| = |2| = 2$. In questo caso il valore assoluto di $a$ è proprio $a$ stesso, perchè $a$ è positivo.
  • Consideriamo $a = -3$. Allora $|a| = |-3| = 3$. Infatti $3$ è il “valore numerico” di $a$, considerato “senza il segno”.
  • Prendiamo $a = 4, b = -4$. Allora $|a| = |4|= 4$ e $|b| = |-4| = 4$. Vediamo quindi che due numeri reali differenti possono avere lo stesso modulo.


Esiste un altro modo, che per qualcuno potrebbe risultare più intuitivo, di interpretare il modulo di un numero reale. Pensiamo ad un numero $a$ come ad un punto sulla retta dei numeri reali: allora il modulo $|a|$ rappresenta la distanza dall’origine del punto $a$.

Questa interpretazione rende abbastanza chiaro come mai due numeri di segno opposto abbiano lo stesso modulo. 

 

Valori assoluti che contengono l’incognita

Consideriamo le seguenti espressioni, costituite da un valore assoluto con al suo interno l’incognita $x$:

  1. $|x-4|;$
  2. $|x^2-2x+1|;$
  3. $|-2-3x|.$


Vogliamo riscrivere queste espressioni senza utilizzare il valore assoluto, in maniera simile a quanto abbiamo fatto nel paragrafo precedente quando abbiamo considerato il valore assoluto di numeri reali.
Per cercare di capire in che modo procedere, proviamo a sostituire qualche valore al posto di $x$ nelle espressioni elencate, per vedere cosa succede:

  • Per $x=5$ abbiamo
    1. $|5-4|=|1|=1;$
    2. $|5^2 - 10 + 1| = |16| = 16;$
    3. $|-2-15| = |-17| = 17.$
  • Per $x=-3$ abbiamo
    1. $|-3-4|=|-7|=7;$
    2. $|(-3)^2 + 6 + 1| = |16| = 16;$
    3. $|-2+9| = |7| = 7.$
  • Per $x=1$ abbiamo
    1. $|1-4|=|-3|=2;$
    2. $|1^2 - 2 + 1| = |0| = 0;$
    3. $|-2-3| = |-5| = 5.$


Vediamo quindi che a seconda del valore che scegliamo per $x$, possono accadere cose differenti all’argomento del valore assoluto di ciascuna espressione: a volte è positivo, altre negativo, oppure può diventare $0$. Ci si accorge quindi che, se non vogliamo utilizzare il valore assoluto, non possiamo sperare di poter scrivere una “formula generale” per le nostre espressioni, senza suddividere l’analisi in base al valore che assume $x$.

Analizziamo solo l’espressione $|-2-3x|.$ Utilizzando la definizione di modulo che abbiamo visto prima possiamo dire che: $$|-2-3x| = \begin{cases} \  -2-3x & \quad \text{se $-2-3x \geq 0$} \\ -(-2-3x) & \quad \text{se $-2-3x < 0$} \end{cases}$$che svolgendo i calcoli diventa: $$|-2-3x| = \begin{cases} -2-3x & \quad \text{se $x \leq -\frac{2}{3}$} \\ 2+3x & \quad \text{se $x > -\frac{2}{3}$} \end{cases}$$Abbiamo così trovato una regola per riscrivere una espressione con valore assoluto contenente un’incognita, senza riutilizzare il modulo stesso: bisogna però “pagare il prezzo” di utilizzare due scritture diverse a seconda dei valori che assume $x$.

 

Equazioni con un valore assoluto

Partiamo direttamente con un esercizio: prendiamo l’equazione: $$|4x^2-1| = 1+2x.$$Cosa dobbiamo fare? Niente panico: siamo di fronte ad una equazione contenente un valore assoluto, ma per quanto abbiamo fatto prima sappiamo come gestirlo. Infatti: $$|4x^2-1| = \begin{cases} 4x^2-1 & \quad \text{se $4x^2-1 \geq 0$} \\ -(4x^2-1) & \quad \text{se $4x^2-1 < 0$} \end{cases}$$Svolgendo i calcoli, si ottiene che:

  • la disequazione di secondo grado $4x^2-1 \geq 0$ ha come soluzione $x \leq -\frac{1}{2} \vee x \geq \frac{1}{2},$ quindi per questi valori di $x$ possiamo scrivere $4x^2 - 1$ al posto di $|4x^2 - 1|;$
  • la disequazione $4x^2-1 < 0$ ha come soluzione $ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2},$ quindi per questi altri valori di $x$ possiamo scrivere $-4x^2 + 1$ al posto di $|4x^2 - 1|.$


In definitiva la nostra equazione è a tutti gli effetti equivalente (cioè ha le stesse soluzioni) all’unione delle soluzioni di due sistemi misti:$$\begin{cases} 4x^2-1 = 1+2x \\ x \leq -\frac{1}{2} \vee x \geq \frac{1}{2} \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} -4x^2+1 = 1+2x \\ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$$Prendiamo il primo sistema. Le soluzioni dell’equazione di secondo grado $4x^2-1 = 1+2x$ sono $x= -\frac{1}{2} \vee x = 1$. Entrambe rispettano la condizione $x \leq -\frac{1}{2} \vee x \geq \frac{1}{2}$ presente nel sistema: quindi sono entrambe soluzioni del sistema considerato.
Nel secondo sistema, abbiamo invece l’equazione $-4x^2+1 = 1+2x$. Questa equazione ha soluzioni $x= -\frac{1}{2} \vee x = 0$; solo la seconda rispetta la condizione $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ presente nel sistema, e quindi solo $x=0$ è una soluzione del secondo sistema.
In conclusione, l’unione delle soluzioni dei due sistemi è: $$S = \left \{- \frac{1}{2}, 0, 1 \right \}$$ e quindi questo insieme è anche l’insieme delle soluzioni dell’equazione $|4x^2-1| = 1+2x.$


Sulla falsariga di quanto abbiamo visto in questo esercizio svolto, possiamo dare una regola generale per affrontare un’equazione con un valore assoluto contenente l’incognita.


Consideriamo un’equazione del tipo $|A(x)| = B(x)$, con $A(x), B(x)$ espressioni generiche che possono contenere $x$. Allora l’insieme delle soluzioni di questa equazione è l’unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi misti: $$\begin{cases} A(x) = B(x) \\ A(x) \geq 0 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} -A(x) = B(x) \\ A(x) < 0 \end{cases}$$
Basta ripercorrere l’esercizio appena fatto per rendersi conto che abbiamo effettivamente utilizzato questa regola per svolgerlo.

Caso particolare: il caso $|A(x)| = k$.
Nel caso in cui l’equazione con valore assoluto sia del tipo $|A(x)| = k$ con $k \in \mathbb{R}$ (ovvero, $B(x)$ è un numero), allora è possibile semplificare il metodo risolutivo. Infatti, applicando meccanicamente la regola, otterremmo i due sistemi: $$\begin{cases} A(x) = k \\ A(x) \geq 0 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} -A(x) = k \\ A(x) < 0 \end{cases}$$ma ci accorgiamo di alcune cose:

  • se $k<0$, sia il primo che il secondo sistema sono impossibili (per esempio, nel primo, $A(x)$ dovrebbe essere contemporaneamente uguale a un numero negativo e non negativo) e quindi anche l’equazione di partenza è impossibile;
  • se $k = 0$, il primo sistema è equivalente all’equazione $A(x) = 0$ e il secondo è impossibile, quindi l’equazione di partenza è equivalente a $A(x) = 0$;
  • se $k > 0$, l’unione dei due sistemi - e quindi l’equazione di partenza - è equivalente all’insieme delle soluzioni di $A(x)  = k \vee A(x) = -k$ (in pratica, le condizioni aggiuntive nei sistemi diventano superflue).


Tenere a mente questo caso particolare può essere molto utile per risolvere velocemente alcuni tipi di esercizi. 

 

Equazioni con più di un valore assoluto

A volte ci si trova di fronte a esercizi di questo tipo: $$|2x - 1| + |3-x| = 4x+4$$Come possiamo procedere in questo caso? Sicuramente la regola che abbiamo esposto prima non vale più, perché abbiamo a che fare con due valori assoluti diversi fra loro.
Sicuramente possiamo dire che: $$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & \ \text{se $2x-1 \geq 0$} \\ -(2x-1) & \ \text{se $2x-1 < 0$} \end{cases} \ \  \Rightarrow \ \  |2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & \  \text{se $x \geq \frac{1}{2}$} \\ -2x+1 & \ \text{se $x < \frac{1}{2}$} \end{cases} $$e anche: $$|3-x| = \begin{cases} 3-x & \quad \text{se $3-x \geq 0$} \\ -(3-x) & \quad \text{se $3-x < 0$} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad |3-x| = \begin{cases} 3-x & \quad \text{se $x \leq 3$} \\ -3+x & \quad \text{se $x > 3 $} \end{cases}$$A seconda del valore che assume $x$, quindi, accadono cose differenti per i due valori assoluti. Conviene fare uno schema:

Seguendo questo schema, possiamo dire che la nostra equazione è equivalente ai seguenti tre sistemi misti: $$ \begin{cases} -2x+1+3-x = 4x+4 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \  \cup \  \begin{cases} 2x-1+3-x = 4x+4 \\ \frac{1}{2} \leq x \leq 3 \end{cases} \  \cup \   \begin{cases} 2x-1-3+x = 4x+4 \\ x > 3 \end{cases}$$che, facendo i conti, diventano: $$ \begin{cases} x = 0 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x=-\frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} < x < 3 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x = -8 \\ x > 3 \end{cases}$$Confrontando le soluzioni di ciascuna equazione con le condizioni presenti nei rispettivi sistemi, si vede che il secondo e il terzo sistema sono impossibili, mentre il primo fornisce la soluzione $x=0$, che è di conseguenza l’unica soluzione dell’equazione $|2x - 1| + |3-x| = 4x+4$.

 

Ricapitolando quanto abbiamo fatto, possiamo stabilire un metodo generale per affrontare delle equazioni con più di un valore assoluto.

  1. Analizzare ciascun valore assoluto separatemente, per capire come si può riscrivere senza utilizzare il modulo.
  2. Riassumere l’analisi ottenuta in uno schema, che indica come poter riscrivere ciascun valore assoluto in funzione del valore che assume $x$.
  3. Costruire i sistemi che tengano conto di quanto ottenuto al punto precedente; cioè, costruire un sistema per ogni intervallo determinato nello schema dei moduli, contenente l’equazione di partenza riscritta in maniera opportuna.
  4. Risolvere ciascun sistema e unire le soluzioni ottenute.


Caso particolare: le equazioni del tipo $|A(x)| = |B(x)|$

Quando ci troviamo di fronte a un’equazione del tipo $|A(x)| = |B(x)|$, secondo quanto detto prima dovremmo procedere analizzando separatamente $|A(x)|$ e $|B(x)|$, per poi costruire e risolvere i sistemi associati all’equazione. In realtà questa tipologia di equazioni con due valori assoluti è molto più semplice da risolvere, infatti: $$|A(x)| = |B(x)| \quad \Leftrightarrow \quad A(x) = B(x) \  \vee \ A(x) = -B(x)$$Il motivo di questa semplificazione sta nel fatto che i sistemi che si verrebbero a formare nell’analisi “standard” sono di fatto sempre riconducibili a una delle due equazioni $A(x) = B(x)$, oppure $A(x) = -B(x)$.

Facciamo un esempio. Consideriamo l’equazione $|x^2-12| = |x^2-2x|$. Allora: $$|x^2-12| = |x^2-2x| \quad \Leftrightarrow \quad x^2-12 = x^2-2x \  \vee \ x^2-12 = -x^2+2x$$cioè: l’insieme delle soluzioni di questa equazione è l’unione degli insiemi delle soluzioni delle equazioni $x^2-12 = x^2-2x$ e $x^2-12 = -x^2+2x$.

Risolviamo la prima equazione:
\begin{align*}
x^2-12 & = x^2-2x \\
-12 & = -2x \\
x & =6.
\end{align*}

Adesso risolviamo la seconda:
\begin{align*}
x^2-12 & = -x^2+2x \\
2x^2 - 2x - 12 & = 0 \\
x_1 = 3 \ & \vee \ x_2 = -2
\end{align*}
Di conseguenza l’insieme delle soluzioni dell’equazione $|x^2-12| = |x^2-2x|$ è $S = \{ -2, 3, 6\}$.

 

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