Trigonometria

Le formule trigonometriche

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Le funzioni trigonometriche hanno numerose proprietà interessanti, specialmente dal punto di vista algebrico. Quando siamo di fronte ad una espressione che contiene queste funzioni, infatti, è spesso possibile manipolarla utilizzando le cosiddette formule trigonometriche, o anche identità trigonometriche.

L’obiettivo che si vuole ottenere ogni volta che si prova a lavorare con queste formule è, principalmente, quello di semplificare l’espressione che ci si trova di fronte. Più generalmente, le identità trigonometriche vengono utilizzate per tentare di ricondurre l’esercizio che si vuole risolvere a una forma che possiamo gestire con metodi conosciuti.
Le formule che forniamo di seguito sono valide per qualsiasi scelta degli angoli $\alpha, \beta$ che verranno indicati. 

 

Identità fondamentale della trigonometria

Con il nome di identità fondamentale della trigonometria si intende di solito la seguente uguaglianza: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$Questa identità è una diretta conseguenza del teorema di Pitagora applicato alla circonferenza goniometrica.

Per $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ l’identità può essere riformulata come: $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}$$oppure, per $\alpha \neq k\pi$, come: $$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \cot^2 \alpha}$$

 

Parità e disparità di $\sin x,\  \cos x,\  \tan x,\  \cot x$

Valgono le seguenti uguaglianze:
\begin{align*}
\sin (-\alpha) & = - \sin \alpha \\
\cos (-\alpha) & = \cos \alpha \\
\tan (-\alpha) & = - \tan \alpha \\
\cot (-\alpha) & = - \cot \alpha
\end{align*}
Possiamo quindi vedere come il segno meno “esca fuori” dall’argomento delle funzioni trigonometriche $\sin x, \tan x, \cot x$. Questa caratteristica, cioè il fatto che $f(-x) = -f(x)$, viene di solito indicata dicendo che le funzioni seno, tangente e cotangente sono funzioni dispari.

Invece vediamo che il segno meno viene “assorbito” dalla funzione $\cos x$. Le funzioni con questa caratteristica, cioè il fatto che $f(-x) = f(x)$, vengono dette funzioni pari: quindi il coseno è l’unica funzione trigonometrica elementare ad essere pari.

 

Formule degli archi (o angoli) associati

Le formule degli archi associati permettono di determinare il valore delle funzioni trigonometriche calcolate negli angoli del tipo $\alpha \pm \frac{\pi}{2}, \alpha \pm \pi, \alpha \pm \frac{3\pi}{2}, \alpha \pm 2\pi$, riconducendosi al valore delle funzioni calcolate in $\alpha$ stesso.

  • Angoli $\mathbf{\alpha \pm \frac{\pi}{2}}$:
    \begin{align*}
    \sin \left ( \alpha + \frac{\pi}{2} \right ) & = \cos \alpha & \qquad  \sin \left ( \alpha -  \frac{\pi}{2} \right ) & = - \cos \alpha \\
    \cos \left ( \alpha + \frac{\pi}{2} \right ) & = - \sin \alpha & \qquad  \cos \left ( \alpha - \frac{\pi}{2} \right ) & = \sin \alpha \\
    \tan \left ( \alpha + \frac{\pi}{2} \right ) & = - \cot \alpha & \qquad  \tan \left ( \alpha - \frac{\pi}{2} \right ) & = - \cot \alpha \\
    \cot \left ( \alpha + \frac{\pi}{2} \right ) & = - \tan \alpha & \qquad  \cot \left ( \alpha - \frac{\pi}{2} \right ) & = - \tan \alpha
    \end{align*}
  • Angoli $\mathbf{\alpha \pm \pi}$:
    \begin{align*}
    \sin \left ( \alpha + \pi \right ) & = -\sin \alpha & \qquad \sin \left ( \alpha - \pi \right ) & = - \sin \alpha \\
    \cos \left ( \alpha + \pi \right ) & = - \cos \alpha & \qquad \cos \left ( \alpha - \pi \right ) & = - \cos \alpha \\
    \tan \left ( \alpha + \pi \right ) & =  \tan \alpha & \qquad \tan \left ( \alpha - \pi \right ) & = \tan \alpha \\
    \cot \left ( \alpha + \pi \right ) & = \cot \alpha & \qquad \cot \left ( \alpha - \pi \right ) & = \cot \alpha
    \end{align*}
    Da queste formule notiamo, in particolare, che le funzioni trigonometriche $\tan x$ e $\cot x$ sono periodiche di periodo $\pi$.

  • Angoli $\mathbf{\alpha \pm \frac{3\pi}{2}}$:
    \begin{align*}
    \sin \left ( \alpha + \frac{3\pi}{2} \right ) & = -\cos \alpha & \qquad  \sin \left ( \alpha -  \frac{3\pi}{2} \right ) & =  \cos \alpha \\
    \cos \left ( \alpha + \frac{3\pi}{2} \right ) & =  \sin \alpha & \qquad  \cos \left ( \alpha - \frac{3\pi}{2} \right ) & = - \sin \alpha \\
    \tan \left ( \alpha + \frac{3\pi}{2} \right ) & =  -\cot \alpha & \qquad  \tan \left ( \alpha - \frac{3\pi}{2} \right ) & =  -\cot \alpha \\
    \cot \left ( \alpha + \frac{3\pi}{2} \right ) & = - \tan \alpha & \qquad  \cot \left ( \alpha - \frac{3\pi}{2} \right ) & = - \tan \alpha
    \end{align*}
  • Angolo $\mathbf{\alpha \pm 2\pi}$:
    \begin{align*}
    \sin \left ( \alpha + 2\pi \right ) & = \sin \alpha & \qquad \sin \left ( \alpha - 2\pi \right ) & = \sin \alpha \\
    \cos \left ( \alpha + 2\pi \right ) & = \cos \alpha & \qquad \cos \left ( \alpha - 2\pi \right ) & = \cos \alpha \\
    \tan \left ( \alpha + 2\pi \right ) & =  \tan \alpha & \qquad \tan \left ( \alpha - 2\pi \right ) & = \tan \alpha \\
    \cot \left ( \alpha + 2\pi \right ) & = \cot \alpha & \qquad \cot \left ( \alpha - 2\pi \right ) & = \cot \alpha
    \end{align*}
    Da queste formule notiamo, in particolare, che le funzioni trigonometriche $\sin x$ e $\cos x$ sono periodiche di periodo $2\pi$.


Sfruttando le proprietà di parità e disparità del seno e del coseno, possiamo determinare il valore di espressioni analoghe a quelle che abbiamo appena visto. Per esempio: $$\sin \left (  \frac{\pi}{2} - \alpha \right ) = \sin \left ( - \left ( \alpha -  \frac{\pi}{2} \right ) \right )  = - \sin \left ( \alpha -  \frac{\pi}{2} \right ) = - (- \cos \alpha ) = \cos \alpha$$oppure: $$\cos ( - \alpha - \pi ) = \cos ( - (\alpha + \pi) ) = \cos ( \alpha + \pi ) = -\cos \alpha.$$

 

Formule di addizione e sottrazione

Le formule di addizione e sottrazione permettono di determinare il valore delle funzioni trigonometriche calcolate rispettivamente in $\alpha + \beta$ o $\alpha - \beta$, sapendo il valore che esse assumono separatamente in $\alpha$ e $\beta$.
\begin{align*}
\sin(\alpha + \beta) & = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta \\
\sin(\alpha - \beta) & = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta \\
\cos(\alpha + \beta) & = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \\
\cos(\alpha - \beta) & = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \\
\tan(\alpha + \beta) & = \frac{\tan \alpha + \tan\beta}{1- \tan \alpha \tan \beta} \\
\tan(\alpha - \beta) & = \frac{\tan \alpha - \tan\beta}{1+ \tan \alpha \tan \beta} \\
\cot(\alpha + \beta) & = \frac{1- \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan\beta} \\
\cot(\alpha - \beta) & = \frac{1+ \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha - \tan\beta}
\end{align*}
Facciamo due osservazioni importanti:

  • Queste identità possono essere lette anche “al contrario”. Capita infatti, in alcuni esercizi, di trovare delle espressioni in cui si possa riconoscere un termine uguale a quello presente nella parte destra di una delle precedenti uguaglianze: spesso, è utile applicare la formula di addizione o di sottrazione per poterlo riscrivere come il membro a sinistra.
  • Le formule degli archi associati sono casi particolari delle formule di addizione e sottrazione: basta porre $\beta$ (oppure $\alpha$) uguale a $\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ oppure $2\pi$.

 

Formule di duplicazione
Le formule di duplicazione permettono di calcolare le funzioni trigonometriche di un angolo $2\alpha$, sapendo il valore che esse assumono in $\alpha$.
\begin{align*}
\sin(2\alpha) & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\
\cos(2\alpha) & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\
\tan(2 \alpha) & = \frac{\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha} \\
\cot (2 \alpha) & = \frac{\cot^2 \alpha -1}{2 \cot \alpha}
\end{align*}
Utilizzando esclusivamente l’identità fondamentale della trigonometria, possiamo riformulare la seconda uguaglianza in addirittura tre modi diversi oltre a quello che abbiamo già scritto:
\begin{align*}
\cos (2 \alpha) & = 2 \cos^2 \alpha - 1 = \\
& = 1 - 2 \sin^2 \alpha = \\
& = \frac{1-\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha}
\end{align*}
Chiaramente l'ultima formula può essere utilizzata solo se $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Vale la pena di fare le seguenti osservazioni.

  • Come accadeva per le formule di addizione e sottrazione, anche queste formule possono essere utilizzate “al contrario”, per semplificare alcune espressioni.
  • Ciascuna formula di duplicazione può essere ottenuta a partire dalle formule di addizione, ponendo $\beta = \alpha$.
  • Utilizzando combinatamente le formule di addizione e di duplicazione è possibile ottenere delle formule di triplicazione, quadruplicazione e così via.

 

Formule di bisezione

Le formule di bisezione permettono di calcolare il valore delle funzioni trigonometriche calcolate in $\frac{\alpha}{2}$, conoscendo il valore che assumono in $\alpha$.
\begin{align*}
\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) & = \pm \sqrt{ \frac{1-\cos \alpha}{2}} \\
\cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) & = \pm \sqrt{ \frac{1+\cos \alpha}{2}} \\
\tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) & = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \\
\cot \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) & = \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}
\end{align*}
Il segno di $\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ e di $\cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ è da determinare in base a dove si trova l’angolo $\alpha$, in modo che i segni nell’uguaglianza siano bilanciati. Facciamo alcuni esempi:

  • Se volessimo calcolare $\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ con $\alpha = \frac{\pi}{6}$, notiamo che $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{12}$, che si trova nel primo quadrante, dove la funzione seno ha valori positivi. Di conseguenza al secondo membro, davanti alla radice quadrata, scegliamo il segno $+$: $$\sin \left ( \frac{\pi}{12} \right ) = + \sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi}{6}}{2}} = \ldots = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.$$
  • Per calcolare $\cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ con $\alpha = \frac{7 \pi}{6}$, bisogna notare che $\frac{\alpha}{2} = \frac{7\pi}{12}$ è nel terzo quadrante, dove il coseno assume valori negativi. Di conseguenza al secondo membro, davanti alla radice quadrata, scegliamo il segno $-$: $$\cos \left ( \frac{7\pi}{12}  \right ) = - \sqrt{\frac{1+\cos \frac{7\pi}{6}}{2}} = \ldots = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}.$$

 

Formule di Werner (prodotto $\to$ somma)

Le formule di Werner permettono di trasformare il prodotto di due funzioni trigonometriche in una somma di altre funzioni trigonometriche (ovviamente, a patto di modificare adeguatamente gli argomenti delle funzioni).
\begin{align*}
\cos \alpha \cdot \cos \beta & = \frac{1}{2}\cos(\alpha - \beta) + \frac{1}{2} \cos (\alpha + \beta) \\
\sin \alpha \cdot \sin \beta & = \frac{1}{2}\cos(\alpha - \beta) - \frac{1}{2} \cos (\alpha + \beta) \\
\sin \alpha \cdot \cos \beta & = \frac{1}{2}\sin(\alpha - \beta) + \frac{1}{2} \sin (\alpha + \beta)
\end{align*}
A partire da queste formule possibile ottenere altre formule analoghe. Per esempio:
\begin{align*}
\tan \alpha \cdot \tan \beta & = \frac{\sin \alpha \cdot \sin \beta}{\cos \alpha \cdot \cos \beta} = \\
& = \frac{cos(\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)}
\end{align*}

 

Formule di linearizzazione
Le formule di linearizzazione permettono di trasformare i quadrati di funzioni trigonometriche in espressioni lineari di funzioni trigonometriche.
\begin{align*}
\sin^2 \alpha & = \frac{1 - \cos (2 \alpha)}{2} \\
\cos^2 \alpha & = \frac{1 + \cos (2 \alpha)}{2} \\
\tan^2\alpha & = \frac{1-\cos (2 \alpha)}{1 + \cos (2 \alpha)} \\
\cot^2 \alpha & = \frac{1 + \cos (2 \alpha)}{1-\cos (2 \alpha)}
\end{align*}
Ciascuna di queste formule discende direttamente dalle formule di Werner, ponendo $\beta = \alpha$.
È inoltre possibile (anche se è molto laborioso) linearizzare una qualsiasi espressione del tipo $\sin^n \alpha$ o $\cos^n \alpha$ per un $n \in \mathbb{N}$ generico. Non spieghiamo in questa lezione il procedimento che dobbiamo seguire; l'idea comunque è di applicare continuamente le formule di Werner per ridurre la potenza $n$ a $1$.

 

Formule di prostaferesi (somma $\to$ prodotto)
Le formule di prostaferesi costituiscono una sorta di “inverso” delle formule di Werner. Infatti, con queste formule possiamo trasformare la somma di due funzioni trigonometriche in un prodotto di altre funzioni trigonometriche.
\begin{align*}
\sin \alpha + \sin \beta & = 2 \sin \left ( \frac{\alpha +  \beta}{2} \right ) \cos \left ( \frac{\alpha - \beta}{2} \right ) \\
\sin \alpha - \sin \beta & = 2 \sin \left ( \frac{\alpha -  \beta}{2} \right ) \cos \left ( \frac{\alpha + \beta}{2} \right ) \\
\cos \alpha + \cos \beta & = 2 \cos \left ( \frac{\alpha +  \beta}{2} \right ) \cos \left ( \frac{\alpha - \beta}{2} \right ) \\
\cos \alpha - \cos \beta & = -2 \sin \left ( \frac{\alpha +  \beta}{2} \right ) \sin \left ( \frac{\alpha - \beta}{2} \right ) \\
\end{align*}

 

Formule parametriche

È possibile esprimere le funzioni trigonometriche come funzioni razionali, ovvero come rapporto di polinomi. Infatti, ponendo $t = \tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ (e quindi ponendo $\alpha \neq k\pi$ con $k$ dispari) abbiamo:
\begin{align*}
\sin \alpha & = \frac{2t}{1+t^2} \\
\cos \alpha & = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
\tan \alpha & = \frac{2t}{1-t^2} \\
\cot \alpha & = \frac{1-t^2}{2t}
\end{align*}
Queste sostituzioni sono particolarmente utili quando si vuole risolvere un integrale che contiene funzioni trigonometriche, ma anche quando si vuole risolvere alcune tipologie di equazioni e disequazioni trigonometriche.

 

Identità notevoli delle funzioni trigonometriche inverse

Consideriamo le funzioni trigonometriche inverse $\arccos x, \arcsin x, \arctan x, \text{arccot} x$. Queste funzioni soddisfano le seguenti identità:
\begin{align*}
& \arcsin (x) + \arccos (x)  = \arctan (x) + \text{arccot}(x) =  \frac{\pi}{2} \\
&\arctan (x) + \arctan \left ( \frac{1}{x} \right ) = \text{sgn}(x) \cdot \frac{\pi}{2} \\
& \sin \left (\arccos (x) \right ) = \cos \left ( \arcsin (x) \right ) = \sqrt{1-x^2} \\
& \tan \left (\arcsin (x) \right ) = \cot \left ( \arccos (x) \right ) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\
&\tan \left (\arccos (x) \right ) = \cot \left ( \arcsin (x) \right ) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \\
& \sin \left ( \arctan(x) \right ) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\
& \cos \left ( \arctan(x) \right ) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\
\end{align*}
La funzione $\text{sgn}(x)$ è il segno di $x$, ovvero: vale $-1$ quando $x$ è negativo, e vale $1$ quando $x$ è positivo.

Per concludere, vale la pena di segnalare che anche le funzioni iperboliche $\cosh(x)$ e $\sinh(x)$ godono di proprietà analoghe a quelle mostrate in questa lezione, a meno di modificare opportunamente alcuni segni all'interno delle espressioni.

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