Geometria euclidea

Il parallelogramma: formule di area e perimetro e proprietà

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Quando consideriamo un quadrilatero con due lati paralleli, stiamo in realtà studiando un trapezio. Che figura otteniamo quando anche gli altri due lati sono paralleli? Di certo il quadrilatero rimane un trapezio, ma la proprietà che abbiamo aggiunto rende la nostra figura molto più interessante.

 

Definizione

Un quadrilatero avente i lati opposti paralleli si dice parallelogramma (o anche parallelogrammo).

Come anticipato prima, tutti i parallelogrammi sono trapezi (ma non tutti i trapezi sono parallelogrammi!). Inoltre, tutti i rettangoli, rombi e quadrati sono particolari tipi di parallelogramma.

 

Vale il seguente, importante risultato:

 

TEOREMA (Caratterizzazione del parallelogramma): Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ha una tra le seguenti proprietà:

  • i lati opposti sono congruenti a due a due (e li chiamiamo con lo stesso nome $a$ oppure $b$);
  • gli angoli opposti sono congruenti a due a due (e li chiamiamo con lo stesso nome $\alpha$ oppure $\beta$);
  • gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari (cioè $\alpha + \beta = \pi$, un angolo piatto);
  • i punti medi delle diagonali coincidono;
  • due lati opposti sono paralleli e congruenti.

Definizione

Dato un lato $l$ e un vertice $A$ che non appartiene a $l$, l’altezza relativa al lato $l$ (indicata con $h_l$) è il segmento passante per $A$ perpendicolare al lato $l$ (o al suo prolungamento).

Formule del parallelogramma

In questa sezione, facciamo riferimento alla figura 1 vista prima. Daremo alcune delle formule del parallelogramma nel caso in cui siano dati i suoi lati e l’altezza relativa a uno dei due.

Area: $A = a \cdot h_a = b \cdot h_b$;
Altezza relativa ad $a$ (rispettivamente a $b$): $h_a = \frac{A}{a}$ (rispettivamente $h_b = \frac{A}{b}$);
Perimetro: $2p = 2a+2b$;
Diagonali: $d_{minore} = \sqrt{b^2 + a^2 - 2b\sqrt{a^2 - h_b^2}}$; $d_{maggiore} = \sqrt{b^2 + a^2 + 2b\sqrt{a^2 - h_b^2}}$.
Angoli: $\alpha = \sin^{-1} \left ( \frac{h_a}{b} \right ) = \sin^{-1} \left( \frac{h_b}{a} \right)$.

 

Vediamo con un diagramma di Venn dove si posizionano i parallelogrammi all’interno dell’insieme di tutti i quadrilateri:

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