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Frazioni e numeri razionali

Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali in cui primo si chiama numeratore e il secondo denominatore. Il denominatore deve essere diverso da zero.

 

Quando si chiede, per esempio, un quarto di litro di latte, $\frac{1}{4} l$, si danno le informazioni su come operare sulla grandezza unitaria litro per ottenere la quantità desiderata. Le frazioni possono essere viste come operatori che si applicano a una grandezza fissata, considerata come l’intero o il tutto, per ottenere una nuova grandezza ben determinata e omogenea alla prima.

 

Una frazione con numeratore uguale a $1$ è detta frazione unitaria; indicata con $A$ una grandezza (segmento, peso, superficie, angolo...) la scrittura $\frac{1}{n} A$ sta ad indicare l’operazione di divisione   della grandezza $A$, intesa come “il tutto”, in $n$ parti uguali. In altre parole, $A$ si può ottenere moltiplicando per $n$ la frazione $\frac{1}{n} A$.

 

Il denominatore di una frazione è quel numero che indica in quante parti uguali si è diviso l'intero. Poiché non ha senso dividere un intero in zero parti, il denominatore deve essere diverso da zero.

 

Partendo da $\frac{1}{n} A$ si possono considerare i suoi multipli interi: $\frac{2}{n} A$, $\frac{3}{n} A, \dots, \frac{n}{n} A$, che rappresentano il doppio di un ennesimo, il triplo di un ennesimo fino ad arrivare all'intera grandezza $A$.

 

La frazione $\frac{m}{n} A$ (si legge emme ennesimi di $A$) con $m < n$ indica il multiplo secondo $m$ della frazione unitaria $\frac{1}{n} A$, cioè la grandezza che si ottiene dividendo $A$ in $n$ parti uguali e prendendone $m$.

 

Il numeratore di una frazione è quel numero che esprime quante parti dell'intero, suddiviso in parti uguali secondo il denominatore, sono state prese.

 

Per leggere una frazione si legge prima il numeratore e poi il denominatore; quest'ultimo si legge come numero ordinale (terzo, quarto, quinto, …) fino a $10$, se è maggiore di dieci si aggiunge la terminazione “esimo”. Ad esempio $\frac{1}{2}$ si legge “un mezzo”; $\frac{2}{3}$ “due terzi”; $\frac{5}{7}$ “cinque settimi”; $\frac{1}{11}$ “un undicesimo”.

 

Si chiamano proprie le frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore. Esse rappresentano sempre una grandezza minore dell'intero. Sono dette invece equivalenti due frazioni che rappresentano la stessa parte dell'intero (per esempio 2/3 e 4/6 sono equivalenti). Se si moltiplicano, o si dividono, numeratore e denominatore di una stessa frazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalente alla frazione data. Per trovare una frazione equivalente a una frazione assegnata è sufficiente moltiplicare per uno stesso numero il numeratore e il denominatore della frazione assegnata. Per esempio a partire da $\frac{4}{7}$ moltiplicando numeratore e denominatore per $2$ si ha la frazione equivalente $\frac{4\cdot 2}{7\cdot 2}=\frac{8}{14}$.

 

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono due numeri interi primi tra loro, ossia che non si possono dividere tra loro. Per ridurre ai minimi termini una frazione occorre dividere numeratore e denominatore per il loro Massimo Comune Divisore. Per esempio per ridurre ai minimi termini la frazione $\frac{8}{12}$ scompongo in fattori $8$ e $12$, ottenendo $8=2^3$ e $12=3·2^2$, poi calcolo il M.C.D. prendendo i fattori comuni con l'esponente più piccolo, in questo caso $2^2$ cioè $4$, e infine divido numeratore e denominatore per $4$: $\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}$. Si può dimostrare che, data una frazione qualunque, esiste una sola frazione ad essa equivalente, che sia ridotta ai minimi termini.

 

Ogni raggruppamento di frazioni equivalenti è definito come un numero razionale assoluto ed è rappresentato da una qualunque frazione del raggruppamento. Solitamente si sceglie la frazione ridotta ai minimi termini.