Insieme R dei numeri reali: costruzione

Video 7 del percorso: Costruzione di insiemi numerici.

Dopo aver ampiamente studiato l’insieme Q dei numeri razionali, con le sue operazioni di somma e prodotto, avendo capito le proprietà dell’estrazione di radice e cosa vuol dire che esistono segmenti incommensurabili, passiamo alla soluzione dei problemi.

Forti del fatto che Q sia l'insieme dei razionali limitati o periodici, concentriamoci sul concetto di "approssimazione tramite razionali", che a ben pensarci risulta essere il vero problema di "numeri" come radice di 2 o pi greco, oltre alla loro irrazionalità.

Dovrebbe essere una scelta abbastanza naturale a questo punto costruire R come insieme dei numeri decimali limitati e illimitati.
Verifichiamo che così facendo abbiamo soddisfatto le nostre richieste, anche se, diversamente da come fatto nelle lezioni precedenti, non ci soffermiamo sulla definizione di nuove operazioni, principalmente perchè risulterebbe molto noioso a questo livello e per nulla educativo (ovviamente nell’opinione dell’autore).
Concludiamo quindi con una definizione alternativa di R, molto più elegante per un matematico, ma probabilmente meno intuitiva: attraverso le sezioni di Dedekind.