Meccanica e cinematica

La forza elastica: formula, definizione, esercizi

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Un corpo rigido è un modello fisico atto a rappresentare i corpi reali. Esso è costituito da un insieme di punti materiali, dotati di massa e occupanti una precisa posizione, i quali, essendo il corpo appunto rigido, non possono spostarsi gli uni relativamente agli altri: questo vuol dire che, in linea teorica, un corpo rigido non subisce alcuna deformazione se sottoposto a compressioni, allungamenti o torsioni.

Ma basta prendere un qualsiasi oggetto attorno a noi e provare a comprimerlo o allungarlo per accorgersi che, compiendo un certo sforzo, è possibile deformarlo. Il modello del corpo rigido, infatti, è un modello, cioè una semplificazione di quello che ci circonda, che adottiamo in fisica per spiegare i fenomeni in generale. Ad ogni modo, dopo aver deformato in qualche modo un corpo materiale, notiamo che, almeno in parte, il corpo tende a tornare alla forma originale, senza che si debba applicare ulteriore forza. L’oggetto comune in cui si può notare meglio questo fenomeno è una molla: una volta compressa o allungata, essa scatta, cercando di tornare alla lunghezza originale.

Se un corpo rigido ritorna alla conformazione precedente la sua deformazione, esso si dice corpo rigido elastico; se invece le deformazioni sono irreversibili, si parla di corpo rigido plastico.

La forza responsabile di questo “ritorno all’equilibrio” nei corpi elastici va sotto il nome di forza elastica. La forza elastica è una forza che si manifesta sempre in opposizione ad uno spostamento o a una deformazione, e tende a riportare il punto materiale spostato, o la porzione di corpo solido deformata, alla sua posizione di principio.

Chiamiamo questa posizione originale posizione di equilibrio: è la posizione in cui si trovano i punti materiali costituenti un corpo rigido quando esso è in equilibrio, ossia quando esso non ha subito alcuna deformazione. Ora immaginiamo di riuscire a spostare un punto dalla sua posizione di equilibrio: chiamiamo $ \vec{s} $ lo spostamento compiuto; spesso, soprattutto in riferimento con le molle, $\vec{s}$ prende il nome di elongazione. Esso costituisce una grandezza vettoriale: è infatti identificato da una “freccia” che parte dalla posizione di equilibrio e raggiunge la posizione che il punto, soggetto allo spostamento, viene ad occupare.

La forza elastica si manifesta in presenza di uno spostamento dalla posizione di equilibrio, e cerca di far tornare il punto proprio là: è naturale quindi che la forza sia diretta come lo spostamento, ma nel verso opposto. Si verifica sperimentalmente che il modulo della forza elastica è direttamente proporzionale allo spostamento: la costante di proporzionalità fra queste due grandezze si chiama costante elastica. Essendo un rapporto tra una forza (misurata in newton $\text{N}$ nel sistema internazionale) ed uno spostamento (misurato in metri $\text{m}$), l’unità di misura della costante elastica è il newton al metro $\text{N} / \text{m}$. La verifica di questa legge, e la sua formulazione matematica, è dovuta a Robert Hooke, scienziato inglese della seconda metà del Seicento, da cui prende il nome: la legge di Hooke infatti asserisce che la forza elastica è espressa dalla formula $$ \vec{F} = - k \vec{s}$$

Il moto descritto da un punto materiale soggetto ad una forza puramente elastica è un moto armonico: il punto materiale, cioè, inizia a oscillare attorno alla sua posizione di equilibrio, senza mai fermarsi.

 

Questo fatto è dovuto alla conservazione dell’energia meccanica. La forza elastica, infatti, è una forza conservativa, e l’energia potenziale elastica di un sistema caratterizzato da una costante elastica $k$ ed esposto ad una deformazione $\vec{s}$ può essere calcolata come l’opposto del lavoro che è necessario compiere per spostare il sistema proprio in quella posizione. Data l’espressione del lavoro della forza elastica, l’energia potenziale elastica, a fronte di  uno spostamento di lunghezza $s$ dalla posizione di equilibrio, è data da $$\mathcal{U}_{\text{el.}} (s) = \frac{1}{2}k \  s^2$$

Proponiamo di seguito un semplice esercizio sulla forza elastica.

Esercizio

Un corpo è fissato all’estremità di una molla, disposta su un piano orizzontale, e oscilla con un’ampiezza massima di $s_{\small{\text{MAX}}} = 20 \text{ cm}$ alla frequenza $f = 2  \text{ Hz}$. L’energia meccanica totale $E_{\text{tot}}$ posseduta dal sistema è di $4 \text{ J}$, e viene conservata: eventuali attriti sono di entità irrilevante. Si richiede di calcolare: la costante elastica $k$ della molla; la massa $m$ del corpo; la velocità massima assunta dal corpo $v_{\small{\text{MAX}}}$

Svolgimento

Impostiamo il problema considerando un sistema di riferimento monodimensionale con origine posta nella posizione di equilibrio della molla, di modo che la coordinata $s$ misuri proprio l’elongazione. Sia $v$ la velocità del corpo ed $a$ la sua accelerazione, istante per istante.


Iniziamo con il determinare la costante elastica $k$ della molla. Per farlo, sfruttiamo la conservazione dell’energia meccanica: sappiamo che in ogni istante l’energia meccanica $E_{\text{tot.}}$ viene conservata; sappiamo altresì che essa è costituita dalla somma di energia cinetica $K = \frac{1}{2} m v^2$  ed energia potenziale, in questo caso solo elastica, $\mathcal{U}_{\text{el.}}(s) = \frac{1}{2} s^2$: avremo dunque che la quantità $E_{\text{tot.}} = K + \mathcal{U}_{\text{el.}}$ rimane sempre costante. Come sappiamo dalla trattazione del moto armonico, in corrispondenza di elongazione massima, ossia agli estremi dell’oscillazione, la velocità è nulla ($v= 0$); di conseguenza l’energia cinetica si annulla ($K = 0$), e l’energia meccanica è interamente costituita da energia potenziale elastica: avremo quindi che, nella posizione $s = s_0$ corrispondente alla massima elongazione, $$E_{\text{tot.}} = K(s_0) + \mathcal{U}_{\text{el.}}(s_0) = 0 + \frac{1}{2} k s_0^2$$Ricaviamo da questa formula l’espressione di $k$: $E_{\text{tot.}} = \frac{1}{2} k s_0^2$ $\Rightarrow k = \frac{2 \cdot E_{\text{tot.}}}{s_0^2}$. Sostituendo i dati in nostro possesso (e ricordandoci di convertire l’elongazione massima da $20\text{ cm.}$ in metri, ossia $2 \cdot 10^{-1} \text{ m}$), otteniamo $k =\frac{2 \cdot 4}{ \left(2 \cdot 10^{-1}\right)^2} = \frac{8}{4 \cdot 10^{-2}}$ $= 200 \text{ N} / \text{m}$.

Per quanto riguarda la massa, usiamo la legge fondamentale della dinamica $\vec{F} = m \vec{a}$ assieme alla legge di Hooke $\vec{F} = -k \vec{s}$. Uguagliando le espressioni della forza (poinchè l’unica forza cui è soggetto il corpo, nelle nostre ipotesi, è la forza elastica), otteniamo l’equazione$$ m a = - k s$$L’espressione dell’accelerazione è data dalla legge del moto armonico, secondo cui $a = -\omega^2 s$; noi però non disponiamo della pulsazione $\omega$, ma della frequenza $f$: queste due grandezze sono legate dalla relazione $\omega = 2 \pi \cdot f $. Sostituendo nell’equazione precedentemente trovata, ricaviamo che $m (- (2 \pi f)^2 s) = -k s$ $\Rightarrow \ m (2 \pi f)^2 = k $ $\Rightarrow \ m = \frac{k}{4 \pi^2 f^2}$. Sostituendo i dati in nostro possesso, otteniamo il valore numerico della massa: $m = \frac{200}{4 \cdot \pi^2 2^2} = \frac{200}{16 \pi^2} = \dots = 1.27 \text{ kg}$.

Infine, calcoliamo la velocità massima raggiunta dal corpo in movimento. Sappiamo, sempre dalle equazioni del moto armonico, che la velocità massima viene raggiunta quando la massa $m$ passa dalla posizione di equilibrio, posta in $s =0$. Essa vale, in modulo, $$ v_{\small{\text{MAX}}} = \omega s_0$$Sostituendo in questa equazione i valori a noi noti, ricordando che $\omega = 2 \pi f$, otteniamo il valore numerico della velocità massima raggiunta dal corpo: $v_{\small{\text{MAX}}} = \omega s_0 = 2\pi f \cdot s_0$ $ = 8 \pi 10^{-1} = 2.51 \text{ m} / \text{s}$.

Crediti immagine: Oleg Alexandrov, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_harmonic_oscillator.gif

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