Limiti agli estremi del dominio di una funzione: definizione di asintoto orizzontale e verticale

In questo video si mostra come determinare il comportamento di una funzione agli estremi del dominio, calcolando dei limiti.

Si introduce il concetto di asintoto, cioè una retta cui il grafico di una funzione si avvicina indefinitamente. In particolare si parlerà qui di asintoti verticali e orizzontali, dapprima generalmente, spiegando come determinarli, e poi attraverso un esempio concreto.

Abbiamo dunque che:

  1. Se $x_0$ è una singolarità per la funzione $f$ (cioè un punto che non appartiene al dominio della funzione) e il limite $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} f(x)}$ è infinito ($\infty$), allora la retta (verticale) $x =x_0$ è un asintoto verticale per il grafico di $f$.
  2. Se il dominio di $f$ è illimitato e il limite $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x)}$ è finito, diciamo uguale ad $l$, allora la retta (orizzontale) $y =y_0$ è un asintoto orizzontale per il grafico di $f$.

Si mostra nell’esempio anche come calcolare i limiti destro e sinistro della funzione, per riuscire a determinarne ancor meglio il comportamento agli estremi del dominio.

 

Per il calcolo degli asintoti obliqui rimandiamo alla prossima lezione.