Meccanica e cinematica

Il momento angolare e il momento d’inerzia

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Il momento angolare, anche detto momento della quantità di moto, è una quantità vettoriale che in fisica viene generalmente indicata con la lettera $\vec{L}$, e rende conto della rotazione nello spazio di un corpo massivo. Si presti attenzione a non confondere il momento angolare $\vec{L}$ con il momento meccanico (o momento delle forze) $\vec{M}$ o con il momento lineare (detto quantità di moto) $\vec{p}$.

Supponiamo di avere un punto materiale $P$ dotato di quantità di moto $\vec{p}$, o equivalentemente di massa $m$ e di velocità $\vec{v}$ (di modo che, concordemente alla sua definizione, $\vec{p} = m \vec{v}$), che ruoti attorno ad un punto dello spazio $O$, detto polo della rotazione. Chiamiamo $\vec{r}$ il raggio-vettore che unisce il polo $O$ con il punto $P$. Si definisce allora il momento angolare del punto $P$ attorno al polo $O$ il vettore $\vec{L}$ dato dal prodotto vettore tra $\vec{r}$ e $\vec{p}$: $$ \vec{L} = \vec{r} \ \times \ \vec{p} $$Per la definizione di prodotto vettore, $\vec{L}$ possiede:

  • Direzione perpendicolare al piano individuato da $\vec{r}$ e $\vec{p}$;
  • Verso indicato dalla “regola della mano destra”: se si pensa di compiere con la mano destra il movimento di “avvitare” il vettore $\vec{r}$ sul vettore $\vec{p}$ con le proprie dita attorno al pollice, il verso di $\vec{L}$ è quello indicato dal pollice:

  • Modulo pari all’area del parallelogramma avente per lati $\vec{r}$ e $\vec{p}$, ossia $r \ m \ v \ \sin(\theta)$, essendo $\theta$ l’angolo convesso compreso tra $\vec{r}$ e $\vec{p}$.

Il momento angolare è quindi massimo se $\vec{r}$ e $\vec{p}$ sono tra loro perpendicolari (cioè se $\theta = \frac{\pi}{2}$): questo avviene ad esempio quando il punto $P$ si muove di moto circolare e il punto $O$ è il centro della circonferenza, in quanto la velocità tangenziale $\vec{v}$ è perpendicolare al raggio $\vec{r}$. Il momento angolare è invece nullo quando le direzioni di $\vec{p}$ ed $\vec{r}$ sono parallele (cioè quando $\theta = 0$): ad esempio, quando $P$ si muove di moto rettilineo (uniforme, uniformemente accelerato, ma non necessariamente: è sufficiente che la traiettoria sia su un’unica retta) e il polo $O$ si trova sulla traiettoria di $P$.

Si noti come in $\vec{L}$ siano concentrate molte informazioni:

  • $\vec{L}$ è direttamente proporzionale alla distanza $r$ dal polo: più ci si allontana dal centro di rotazione, maggiore sarà il momento angolare sviluppato
  • $\vec{L}$ è direttamente proporzionale alla velocità $v$ del punto materiale: più il punto si muove velocemente, maggiore sarà il suo momento angolare
  • $\vec{L}$ è direttamente proporzionale alla massa $m$ del punto materiale: un punto di massa doppia svilupperà, a pari raggio e pari velocità, un momento angolare doppio.
  • La circonferenza di rotazione è situata al piano perpendicolare ad $\vec{L}$ e passante per il punto $P$

Notiamo anche che, una volta individuato $\vec{L}$, il polo $O$ può essere spostato sulla retta avente direzione parallela a $\vec{p}$ e passante per $O$ stesso: per la definizione di prodotto vettore, le eventuali componenti del raggio-vettore $\vec{r}$ su questa retta non contribuiscono alla determinazione di $\vec{L}$. Infatti, parallelogrammi aventi la stessa altezza e la stessa base hanno anche la stessa area: nel nostro caso, la base è costituita da $\vec{p}$, mentre l’altezza è la distanza della rella $l$ dal punto $P$.

Un punto materiale ruotante dispone però anche di una velocità angolare: come si legano momento angolare e velocità angolare? La risposta è costituita dal momento d’inerzia.


Pensiamo a un punto $P$ che ruota di moto circolare attorno a un polo $O$ ed è dotato dotato di un momento angolare (rispetto ad $O$) $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times ( m \vec{v} )$. Per quanto detto prima sulla posizione di $O$, possiamo supporre che $\vec{r}$ sia perpendicolare a $\vec{p}$. Il moto di $P$ è circolare, e dunque è caratterizzato da una velocità angolare $\omega = \frac{v}{r} \Rightarrow v = \omega \ r$, e il momento angolare invece è $L = r \ m\  v$. Riscriviamo la formula del momento angolare sfruttando l’espressione della velocità angolare: $L = r \ m (\omega \ r) = m r^2 \ \omega$. La quantità $m r^2$ prende il nome di Momento d’Inerzia, e viene indicato con la lettera $I$, da cui si deduce l’uguaglianza $$ L = I \ \omega$$

Abbiamo visto come una forza che imprima una rotazione è responsabile di un momento meccanico. Sussiste un legame molto profondo tra momento meccanico e momento angolare: ci apprestiamo ora ad illustrarlo.

Sia $P$ un punto materiale soggetto ad un momento delle forze $\vec{M}$: $\vec{M}$ calcolato rispetto ad un asse di rotazione $a$ e quindi rispetto a un polo $O$ situato su quest’asse; detto $\vec{r}$ il raggio-vettore che collega $O$ a $P$, ed $\vec{F}$ la forza applicata in $P$, è $$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$$Ora sfruttiamo l’equazione fondamentale della dinamica per scrivere $\vec{F} = m \vec{a}$ all’interno del momento meccanico:$$ \vec{M} = \vec{r} \times (m \vec{a}) $$Ricordiamo la definizione di accelerazione: si tratta della variazione di velocità $\Delta \vec{v}$, avvenuta in un intervallo di tempo di durata $\Delta t$: $\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$. La formula del momento meccanico diventa quindi$$ \vec{M} = \vec{r} \times \left(m \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\right) = \frac{\vec{r} \times \left(m \Delta \vec{v}\right)}{\Delta t} $$Riconosciamo in questa espressione una variazione di momento angolare: se il momento angolare è $\vec{L} = \vec{r} \times (m \vec{v})$, la sua variazione, avvenente nell’intervallo $\Delta t$, è proprio $\vec{r} \times (m \Delta \vec{v})$! Concludiamo quindi che $$ \vec{M} = \frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t}$$Questa relazione è talmente importante che, nei sistemi in rotazione, sostituisce la legge fondamentale della dinamica! Infatti, è ad essa equivalente (ossia, assumendo $\vec{M} = \frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t}$ come vera si può dedurre la formula $\vec{F} = m \vec{a}$), ma le quantità coinvolte sono più facilmente ricavabili per sistemi ruotanti. Nella seguate animazione, un momento delle forze (in blu) viene applicato ad un corpo ruotante per modificarne il momento angolare (in verde):

 

Una forza, quindi, è responsabile della variazione del momento angolare. Da questa affermazione ne deduciamo che, in assenza di forze o in equilibrio, ossia, concordemente con il principio d’inerzia, quando la risultante di tutte le forze e di tutti i momenti delle forze è nulla, il momento angolare non presenta variazioni: in altre parole, il momento angolare si conserva. Sarebbe più corretto affermare che “tende” a conservarsi: non appena interviene una forza, la quale causa un momento meccanico, il momento angolare si modifica.

Questo risultato, apparentemente molto teorico e privo di riscontri pratici, è invece sotto gli occhi di tutti: basta osservare una ruota di una bici o di una moto. Da ferma, a velocità $v = 0$, non è presente momento angolare, e la ruota (assieme a bici, moto, conducente e quant’altro), se non viene tenuto in piedi con qualche altro mezzo (tipicamente le nostre gambe), cascherà per terra. Ma non appena inizia a girare, la ruota “rimane” in piedi: responsabile di questo fatto è il momento angolare $\vec{L}$ di cui essa è dotata. Il vettore $\vec{L}$ tende a conservarsi, e, assieme ad esso, il piano ad esso perpendicolare, su cui è “appiccicata” la moto: sin tanto che $\vec{L}$ è presente, la moto non ha bisogno di altro per reggersi in piedi. 

Un’altra conseguenza molto importante della conservazione del momento angolare è il fatto che i pianeti abbiano orbite piane: questo fatto viene enunciato dalle leggi di Keplero.

 

 

Crediti immagini: 
Schorschi2 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Right-hand_grip_rule.svg
Yawe https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/09/Torque_animation.gif

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