Meccanica e cinematica

Moto di Caduta Libera: le equazioni che lo descrivono

A cura di , Astorino Simone , Giovanni Barazzetta

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Un esempio molto importante di moto rettilineo uniformemente accelerato è il moto di caduta libera, ovvero il moto di un oggetto che cade.

Nel 1638 Galilei pubblicò una sua opera, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e i movimenti locali, dove studiò e discusse il problema di un corpo che cade nei pressi della superficie terrestre, traendo principalmente tre conclusioni:

  1. Un corpo che cade si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato.
  2. In assenza di aria tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, chiamata accelerazione di gravità, che si indica con $g$, e che non dipende dalla massa dei corpi. Sulla superficie della terra, il modulo di $g$ vale mediamente $9,8$ $\text{m} / \text{s}^2$
  3. In presenza d’aria, a causa dell’attrito, i corpi possono cadere con leggi orarie differenti da quelle del moto uniformemente accelerato

Chiamiamo il moto di caduta libera quel moto in cui non c’è attrito. In questo caso, come mostrato da Galileo, un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, indipendentemente dalla sua massa: in assenza di aria, una piuma e un masso arriverebbero a terra nello stesso istante.

Le equazioni che descrivono questo moto sono dunque costituite dalla legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:

$$ \begin{cases} v(t) & \displaystyle{= g \ t + v_0} \\ x(t) & \displaystyle{= \frac{1}{2} g \ t^2 + v_0 \ t + x_0 }\end{cases} $$
dove $g$ è l’accelerazione di gravità, $x_0$ è la coordinata che indica la posizione iniziale del punto materiale, e $v_0$ è il valore della velocità iniziale che il punto materiale possiede.

È da evidenziare il fatto che i corpi cadono verso il basso, cioè verso la superficie terrestre. Questa ovvia considerazione ha conseguenze sul segno dell’accelerazione $g$: se vogliamo che $g$ (e non il suo modulo) valga $9,8$ $\text{m}/ \text{s}^2$, la retta lungo la quale avviene il moto rettilineo uniforme deve avere un orientamento verso il basso; se la orientiamo verso l’alto, invece, $g$ varrà $- 9,8$ $\text{m}/ \text{s}^2$.

 

Esempio:

Una mela cade da un albero alto $2,5$ $\text{m}$. Quanto tempo impiega a raggiungere il suolo? Con quale velocità raggiunge il terreno?

Impostiamo un sistema di riferimento $\mathcal{O}s$ in cui l’asse sia verticale, perpendicolare rispetto al terreno, e il suo verso punti dall’alto al basso: l’altezza corrisponde alla coordinata $s$. Poniamo l’origine $\mathcal{O}$ nel punto occupato dalla mela all’inizio della caduta, di modo che $s_0$, appunto la coordinata indicante la posizione occupata dalla mela all’inizio della caduta, sia zero. Siccome la mela parte da ferma, anche $v_0$, la velocità iniziale, è nulla.

Ora siamo pronti a usare la legge oraria per il moto in caduta libera:

$$ s(t)  = \frac{1}{2} g \ t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2s}{g}} $$ per cui sostituendo $s = 2,5$ $\text{m}$ (lo spazio che la mela deve percorrere per toccare terra) otteniamo: $$ t = \sqrt{\frac{5}{9,8}}= 0,71 \text{ s}$$

La mela ci mette $0,71$ secondi per cadere. La velocità che possiede quando incontra il terreno può essere ottenuta sostituendo nella formula $v(t) = g \cdot t + v_0$, tenuto conto che $v_0 = 0$ e $t = 0,71$: $v_{\text{finale}} = 9,8 \cdot 0,71 + 0 = 7 \text{ m}/ \text{s}$, ovvero circa $7 \cdot 3,6 = 25,2 \text{ km}/\text{h}$.

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