Meccanica e cinematica

Moto lungo un piano inclinato: esercizi svolti

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1) Determina l’accelerazione a cui è sottoposto un corpo che scivola lungo un piano inclinato liscio, sapendo che il piano forma un angolo $\alpha$ di 60° rispetto all'orizzontale.

  • La formula per determinare l’accelerazione, ricavata dalla legge fondamentale della dinamica di Newton, è $$a=\frac{P_{//}}{m}$$ dove $P_{//}$ è la componente parallela al piano della forza peso e $m$ la massa del corpo.
  • La componente $P_{//}$ si può ottenere a partire dall'angolo $\alpha:$ $$P_{//}=mg\sin\alpha$$ dove $g$ è l'accelerazione di gravità.
  • Mettendo insieme le due formule possiamo ottenere l'accelerazione del corpo che dipenderà soltanto da $g$ e da $\alpha:$ $$a=\frac{mg\sin\alpha}{m}=g\sin\alpha$$
  • Ora sostituiamo nella formula i valori numerici: $$a=9.81 \mbox{m/s}^2\cdot\sin 60\mbox{°}=0.866\cdot9.81\mbox{m/s}^2=8.5\mbox{m/s}^2$$

 

2) Calcola di quanto diminuisce la quota di un oggetto che scivola per 8 secondi lungo un piano inclinato di 30° rispetto all'orizzontale se la sua velocità inziale rivolta verso il basso è pari a 2 m/s.

  • Per le proprietà dei triangoli rettangoli l'altezza di cui scende il corpo nella sua corsa $h$ si può calcolare a partire dalla distanza percorsa $s$ grazie a: $$h=s\sin\alpha$$
  • Trattandosi di un moto rettilineo uniformemente accelerato, la distanza $s$ si può calcolare facendo ricorso alla seguente formula: $$s=\frac{v_f^2-v_i^2}{2a}$$ dove $v_i$ è la velocità iniziale e $v_f$ è la velocità finale e $a$ l'accelerazione cui è sottoposto il corpo.
  • L'accelerazione equivale a: $$a=g\sin\alpha=0.5\cdot9.81\mbox{m/s}^2=4.91\mbox{m/s}^2$$
  • La velocità finale, come in tutti i moti rettilinei uniformemente accelarati, si ricava con l'equazione seguente: $$v_f=v_0+at=2\mbox{m/s}+4.91\mbox{m/s}^2\cdot8\mbox{s}=41.3\mbox{m/s}$$
  • Sostituiamo nelle prime due formule e otteniamo: $$s=\frac{(41.3^2-2^2) \mbox{m}^2 \mbox{/s}^2 }{9.81 \mbox{m/s}^2 }=173\mbox{ m}$$

 

3)Un corpo di massa $m$ pari a 4 kg scivola lungo un piano inclinato di 30° rispetto all'orizzontale. Il piano presenta una superficie scabra. Sapendo che il coefficiente d’attrito dinamico tra il corpo e la superficie del piano è pari a 0,2, che il corpo parte da fermo e che la velocità finale è pari a 20 m/s, calcola l’accelerazione e la distanza coperta prima di fermarsi.

  • Per quanto noto sui piani inclinati scabri l’accelerazione è data dall'equazione $$a=\frac{P_{//}-F_{at}}{m}$$ dove $P_{//}=P\sin\alpha$ è la componente della forza peso parallela al piano inclinato.
  • Occorre ora determinare la forza peso: $$P=mg=4\mbox{kg}\cdot9.8\mbox{m/s}^2=39.2\mbox{N}$$
  • Calcoliamo ora $P_{//}$ $$P_{//}=0.5\cdot39.2\mbox{N}=19.6\mbox{N}$$
  • Calcoliamo la forza d’attrito $F_{at}$ a partire dalla forza normale al piano $N$ esercitata dal piano stesso sul corpo. $$F_{at}=\mu_dN$$ ricordando che $N$ è uguale in modulo alla componente della forza peso ortogonale al piano inclinato $P_\perp$ $$N=P_\perp=P\cos\alpha=0.866\cdot39.2\mbox{N}=34\mbox{N}$$ e infine $$F_{at}=0.2\cdot34\mbox{N}=6.8\mbox{N}$$
  • Sostituiamo nella formula dell’accelerazione i valori trovati: $$a=\frac{(19.6-6.8) \mbox{N} }{4 \mbox{kg} }=3.2\mbox{m/s}^2$$
  • Rifacendoci ancora una volta alle leggi valide nel moto rettilineo uniformemente accelerato, calcoliamo la distanza $s$ con la formula che segue: $$s=\frac{v_f^2-v_i^2}{2a}=\frac{(20^2-0^2) \mbox{m}^2 \mbox{/s}^2 }{2\cdot3.2 \mbox{m/s}^2 }=62.5\mbox{m}$$

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