Nella vita di tutti i giorni, ci capita spesso di avere la necessità di contare qualcosa, o di “mettere in ordine” degli oggetti. Anche se non ce ne rendiamo conto, ogni volta che lo facciamo stiamo utilizzando un concetto matematico di enorme importanza: i numeri naturali.
Definizione
Consideriamo l’insieme costituito dai numeri $1, 2, 3 \ldots$. Questo insieme viene indicato con $\mathbb{N}$ e si chiama insieme dei numeri naturali.
Ciascun numero naturale rappresenta il concetto matematico che sta dietro alla “quantificazione” degli oggetti che ci circondano. Per capirci meglio: cos’hanno in comune tre automobili, tre sogni, tre pianeti? Stiamo sempre parlando di tre oggetti: questa “caratteristica” in comune è identificabile con il numero naturale “3”.
Elenchiamo alcune proprietà di $\mathbb{N}$:
- è un insieme ordinato, ovvero, dati due numeri, è sempre possibile stabilire quale precede (o segue) l’altro;
- è infinito, o meglio, illimitato superiormente. Infatti non riusciamo a pensare a un numero naturale più grande di tutti gli altri numeri;
- ha un elemento minimo, che è il numero $1$. A volte si inserisce in $\mathbb{N}$ anche il numero $0$ (che rappresenta l’idea di “assenza” di oggetti), che diventa quindi il nuovo elemento minimo; altre volte si preferisce invece escluderlo e definire invece $\mathbb{N} \cup \{0 \} =: \mathbb{N}_0$.
Sebbene gli elementi di $\mathbb{N}$ siano infiniti, possiamo comunque pensare di poterli distinguere e contare uno a uno, a differenza di ciò che accade considerando altri “tipi” di insiemi infiniti. Per esempio, come si fa a contare quanti istanti sono passati da quando hai iniziato a leggere questa lezione fino a ora? Sono certamente infiniti, e ogni istante è di fatto indistinguibile dal successivo e dal precedente anche se evidentemente ognuno di essi è distinto dagli altri. Di più: non è neanche possibile individuare veramente un istante successivo o precedente a un istante dato, perché tra due istanti è sempre possibile trovarne infiniti altri!
Definizione
Per riassumere quanto detto poco fa, diremo che $\mathbb{N}$ è un insieme infinito numerabile.
L’insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$
All’interno di $\mathbb{N}$ è possibile definire le operazioni di addizione e di sottrazione. Molto spesso, però, la sottrazione non dà dei risultati contenuti in $\mathbb{N}$. Per esempio: se proviamo a sottrarre $5$ al numero $4$, cioè a fare l’operazione $4-5$, ci accorgiamo che il risultato non sta in $\mathbb{N}$: ovvero non esiste nessun numero naturale che sommato a $5$ ci dia il numero $4$.
La sensazione è che in $\mathbb{N}$ “manchi qualcosa” che permetta di svolgere la sottrazione con serenità, per qualunque scelta dei numeri coinvolti nell’operazione. A questi “oggetti mancanti” è stato dato il nome di interi negativi, e vengono indicati con un numero naturale preceduto da un segno meno (come $-2, -4, -52 \ldots$): nel nostro esempio, al risultato dell’operazione $4-5$ viene assegnato il valore $-1$.
Definizione
L’insieme costituito da $\mathbb{N}$, il numero $0$ e tutti i numeri interi negativi viene chiamato insieme dei numeri interi relativi, spesso chiamati solo numeri interi, e viene indicato con $\mathbb{Z}$. I numeri naturali $\mathbb{N}$, considerati come elementi di $\mathbb{Z}$, vengono detti interi positivi.
I numeri interi $a$ e $-a$, per ogni $a \in \mathbb{N}$, vengono detti opposti.
Elenchiamo alcune proprietà di $\mathbb{Z}$:
- $\mathbb{N}$ è un suo sottoinsieme proprio;
- è un insieme ordinato;
- è infinito, essendo sia illimitato inferiormente che superiormente.
Rappresentiamo con un diagramma di Venn il rapporto tra $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{N}$:
Nonostante possa sembrare che in $\mathbb{Z}$ ci siano “più numeri” di quanti ce ne siano in $\mathbb{N}$ (anzi, si direbbe che ce ne siano esattamente il doppio!) si può invece dimostrare che $\mathbb{Z}$ è infinito numerabile esattamente come $\mathbb{N}$, ovvero per ogni elemento di $\mathbb{Z}$ posso trovare uno e un solo elemento di $\mathbb{N}$ a esso corrispondente (o come si dice con un termine tecnico, $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{N}$ possono essere messi in corrispondenza biunivoca).
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino