Fisica

L’ottica geometrica e le sue leggi

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L’ottica geometrica fu il primo tentativo della scienza umana di spiegare i fenomeni luminosi che ci circondano. La sua nascita è molto antica e il suo studio ha permesso notevoli sviluppi: dalla creazione delle lenti degli occhiali, ai cannocchiali e i telescopi, sino alla fibra ottica che usiamo al giorno d’oggi.
Tuttavia, già nella seconda metà del 1600, si intuì che l’ottica geometrica presentava delle lacune: alcuni esperimenti e fenomeni riguardanti la luce presentavano aspetti che, via via nel tempo, era sempre più difficile spiegare semplicemente con l’ottica geometrica, e che anzi facevano presagire che la natura della luce fosse ben più complessa.
Ad oggi sappiamo che la luce si comporta in alcuni casi come una particella, cioè un minuscolo corpo dotato di massa, ed in altri come un’onda, cioè una trasmissione di energia nello spazio e nel tempo, senza massa. Questo dualismo onda-particella sta alla base del principio di indeterminazione di Heisenberg.
L’ottica geometrica permette di spiegare accuratamente gran parte di quei fenomeni che non fanno uso del concetto di onda, e ciò accade quando la lunghezza d’onda della radiazione luminosa non è confrontabile (cioè è molto minore) con le dimensioni dei corpi con cui interagisce. La teoria dell’ottica geometrica, come ogni altra teoria fisica, ha dei limiti di applicazione: entro questi limiti, però, funziona perfettamente.

Le premesse su cui si basa l’ottica geometrica sono tre leggi fondamentali, e riguardano:

  1. Il modo in cui la luce si propaga all’interno di un mezzo.
  2. Il modo in cui la luce si riflette sulle superfici che separano due mezzi.
  3. Il modo in cui la luce attraversa le superfici che separano due mezzi.

Propagazione geometrica della luce

Secondo questa ipotesi, la luce, generata da una fonte, attraversa i mezzi materiali che si frappongono tra la fonte e gli altri oggetti in linea retta. Per la precisione: la luce attraversa un mezzo isotropo ed omogeneo lungo una retta, chiamata raggio luminoso.
Un materiale è detto omogeneo se le sue caratteristiche fisiche (densità, carica elettrica, eccetera) sono uniformi nel volume che esso occupa; un materiale è detto isotropo se le sue caratteristiche fisiche non dipendono dalla direzione in cui queste vengono analizzate.
La luce segue sempre il percorso che le permette di coprire la distanza tra due punti nel minor tempo possibile: la linea che descrive si dice brachistocrona, e questo principio è detto principio di Fermat. Il fatto che all’interno di un singolo mezzo la brachistocrona coincida con una retta è un caso fortunato: se la luce passa da un materiale all’altro, o se il materiale in cui si diffonde non è omogeneo, il profilo della brachistocrona diventa più complesso.
La prima formulazione di questa ipotesi si deve addirittura ad Euclide, che la trasse dall’ipotesi di Eraclito, secondo cui gli atomi, nel vuoto, si muovevano in linea retta. La legge venne via via resa più precisa, sino al suo enunciato attuale. La nozione di “raggio di luce” è così calzante che è molto difficile pensare alla luce senza pensare un una qualche sorta di “raggio”.
La velocità con cui i raggi luminosi si propagano cambia da materiale a materiale. Si assume che, in assenza di un mezzo, un raggio luminoso viaggi ad una certa velocità fissata, che chiameremo “velocità della luce nel vuoto”, denotata dal simbolo $c$. Questa velocità è pari a circa $2,99 792 458  \cdot 10^8 \text{ m} / \text{ s}$, ed il suo calcolo fu molto importante per gli sviluppi della fisica moderna (per esempio, il fatto che sia costante in ogni sistema di riferimento costituisce uno dei punti di partenza della teoria della relatività ristretta).
Supponiamo ora che un raggio luminoso attraversi un mezzo (omogeneo ed isotropo) con una cerva velocità $v$. Chiamiamo indice di rifrazione (del mezzo) il rapporto che sussiste tra $c$ e $v$: l’indice di rifrazione si indica con $n$, e con una formula possiamo scrivere$$ n = \frac{c}{v}$$Dobbiamo indicare che la velocità con cui la luce si propaga in un mezzo, e di conseguenza il suo indice di rifrazione, dipende sia dal mezzo sia dalla lunghezza d’onda della luce. Inoltre, l’indice di rifrazione della luce è sempre maggiore di uno, dato che la luce si propaga in un mezzo più lentamente di quanto si propaghi nel vuoto.

I fenomeni di riflessione e rifrazione: generalità

L’ipotesi della propagazione rettilinea e la definizione di indice di rifrazione descrivono completamente il comportamento della luce quando questa si propaga in un mezzo. Ma che cosa succede quando un raggio luminoso da un mezzo passa ad un altro mezzo? Si hanno due fenomeni, la riflessione e la rifrazione, che avvengono contemporaneamente.

Quando un raggio luminoso colpisce la superficie che separa due mezzi, si generano altri due raggi: un raggio riflesso, che “torna indietro” all’interno dello stesso mezzo; e un raggio rifratto, che “passa” al mezzo successivo.
Questi fenomeni avvengono sempre e avvengono sempre assieme; a volte, ad esempio negli specchi, non riusciamo a notare la rifrazione perché l’indice di rifrazione del secondo mezzo (quello di cui è composto lo specchio) è talmente basso rispetto a quello dell’aria da darci l’impressione che il raggio luminoso si “fermi” sulla sua superficie, rimbalzando indietro, e facendo apparire solo una riflessione del raggio luminoso. Spiegheremo questo caso più avanti.
Una importante caratteristica dei raggi riflessi e rifratti è la loro complanarità. Consideriamo la retta lungo cui si propaga il raggio luminoso iniziale, le rette lungo cui si propagano il raggio riflesso e il raggio rifratto (che sono due), e la retta che individua la direzione perpendicolare alla superficie che separa i due mezzi: in totale, quattro rette. Ebbene, nel caso dell’ottica geometrica queste quattro rette stanno tutte nello stesso piano. È importante notare questo fatto per due motivi:

  1. In generale, quattro rette nello spazio euclideo possono avere tante e differenti posizioni reciproche: è difficile che quattro rette, prese a caso, siano nello stesso piano.
  2. Si possono studiare fenomeni con l’uso della geometria piana, e non quello tridimensionale, il che semplifica molto sia il modello che i calcoli.

Detto questo, possiamo individuare sempre tre angoli: si tratta degli angoli che i vari raggi luminosi formano con la retta normale alla superficie di separazione. Avremo quindi l’angolo incidente o di incidenza $\vartheta_i$ per il raggio originale (che appunto incide sulla superficie tra i due mezzi), l’angolo di riflessione $\vartheta’_i$ per il raggio riflesso, e l’angolo di rifrazione $\vartheta_r$ per il raggio rifratto.

 

Ora analizziamo i singoli fenomeni.

La riflessione dei raggi luminosi

Un raggio luminoso incidente sulla superficie di separazione di due mezzi genera un raggio nel mezzo che sta attraversando: il raggio riflesso. In quale direzione è orientato? Consideriamo l’angolo di incidenza $\vartheta_i$ e quello di rifrazione $\vartheta’_i$: questi sono congruenti. In altre parole, un raggio luminoso si riflette su di una superificie con lo stesso angolo con cui incide su di essa; o, in una formula $ \vartheta_i = \vartheta’_i$

 

Si presti attenzione che i due angoli sono calcolati rispetto alla retta normale alla superficie.
Questa proprietà è nota sin dall’epoca di Archimede, e ha permesso notevoli sviluppi nello studio della geometria. Storicamente, i fuochi delle sezioni coniche (ellissi, parabole ed iperboli) si chiamano in questo modo perché raggi provenienti da un fuoco (o paralleli all’asse di simmetria, nel caso di una parabola), se vengono fatti “rimbalzare” sulla superficie delineata dalla conica seguendo questa legge, passano attraverso l’altro fuoco, focalizzandosi in quel punto - da cui, appunto, il loro nome latino, focus. Di solito ci si riferisce a questa come proprietà tangenziale.

 

 

La rifrazione dei raggi luminosi

Un raggio luminoso che passi da un mezzo all’altro si dice rifratto. La legge che lega l’angolo di rifrazione $\vartheta_r$ all’angolo di incidenza $\vartheta_i$ è detta legge di Snell, dal nome dello scienziato olandese Willebrord Snel van Royen (1580 - 1626), che la scoprì sperimentalmente attorno al 1621. Questa legge afferma che il rapporto tra il seno dell’angolo di incidenza e il seno dell’angolo di rifrazione è pari al rapporto tra l’indice di rifrazione del secondo mezzo e l’indice di rifrazione del primo:

 

La legge di Snell può anche essere riformulata in questo modo, $ \sin (\vartheta_i) n_i  = \sin (\vartheta_r) n_r $, che è più facile da ricordare.

Se un raggio luminoso passa da un mezzo con indice di rifrazione $n_i$ minore dell’indice $n_r$ del secondo mezzo, avremo \begin{align*} n_i < n_r  & \Rightarrow  \frac{n_i}{n_r} < 1 & \\  & \Rightarrow \frac{\sin (\vartheta_r)}{\sin (\vartheta_i)} < 1 & \\  & \Rightarrow \sin (\vartheta_r) < \sin (\vartheta_i) &  \vartheta_r < \vartheta_i\end{align*}A parole, possiamo dire che se l’indice di rifrazione aumenta, l’angolo di rifrazione è minore rispetto all’angolo di incidenza, e quindi il raggio rifratto è più accostato alla normale rispetto al raggio incidente. Viceversa, se si passa da un mezzo con indice maggiore ad uno con indice minore, il raggio rifratto si allontanerà dalla normale:

 

Questo fenomeno può essere sfruttato per “intrappolare” raggi luminosi all’interno di un oggetto. Consideriamo un oggetto fatto di un materiale dotato di indice di rifrazione $n_i$ più alto rispetto a quello dell’ambiente circostante, e supponiamo di porre una sorgente luminosa al suo interno. Come si vede dall’illustrazione, man mano che ci si allontana dalla sorgente luminosa i raggi rifratti si fanno sempre più vicini all’orizzontale:

 

Quando l’angolo di rifrazione raggiunge i $90^\circ$, il raggio rifratto è parallelo alla superficie di separazione, e oltre questo limite non è più in grado di propagarsi nel secondo mezzo. L’angolo di incidenza per il quale l’angolo di rifrazione è un angolo retto si chiama angolo limite, e viene indicato con $\vartheta_L$. Possiamo sfruttare la legge di Snell per calcolare l’angolo limite: infatti, sfruttando le funzioni trigonometriche inverse, e ricordando che $\sin (90^\circ)  = 1$, abbiamo:$$ \sin (\vartheta_L) n_i = \sin(90^\circ) n_r \quad \Rightarrow \quad \sin(\vartheta_L) = \frac{n_r}{n_i} \quad \Rightarrow \quad \vartheta_L = \arcsin \left( \frac{n_r}{n_i} \right)$$Quando l’angolo di incidenza supera l’angolo limite, il fenomeno di rifrazione non si presenta più: si avrà quindi quella che si dice riflessione totale. È questo il caso degli specchi, oggetti molto antichi, ma anche di strumenti moderni, come le fibre ottiche.
Una fibra ottica è costituita da un cilindro (di base molto sottile) di due materiali, uno, situato all’interno con indice di rifrazione alto, e l’altro, avvolto come guaina attorno a quello centrale, di indice più basso. Se un segnale luminoso viene “inserito” all’interno della fibra ottica con un angolo sufficientemente ampio (rispetto alla normale alla superficie tra i due materiali), questo verrà completamente riflesso dalla guaina di materiale esteriore, rimanendo intrappolato all’interno del nucleo centrale.

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