Meccanica e cinematica

Il pendolo semplice

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Il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un grave, un punto materiale, vincolato da una sbarra rigida (incomprimibile e inestensibile) e senza massa a rimanere ad una certa distanza da un punto fissato, e soggetto alla forza peso e alla reazione vincolare. Non sono presenti attriti.

Questo pendolo si dice “semplice” in contrapposizione al pendolo “composto”, nel quale il sistema punto materiale-sbarra viene sostituito da un corpo rigido.

Se chiamiamo $m$ la massa del punto materiale, $l$ la lunghezza della sbarra, e $\vec{P}$ la forza peso, il diagramma seguente raffigura un pendolo semplice:

Il moto che osserviamo è, più o meno, il seguente:

 

Per descrivere analiticamente il moto del punto materiale occorre fare due cose: prima di tutto impostare un sistema di riferimento, in cui il grave viene identificato tramite delle coordinate; in seguito, esprimiamo la risultante delle forze $\vec{F}_{\text{tot.}}$, per utilizzare l’equazione fondamentale della dinamica $\vec{F}_{\text{tot.}} = m \ \vec{a}$, dalla quale estrapoleremo l’accelerazione del punto materiale, cercando dunque di ricondurci a una tipologia di moto a noi nota.

Per quanto riguarda il primo passaggio, chiamiamo $\vec{x}$ il vettore orizzontale che collega la verticale passante per il perno del pendolo con il punto materiale, come illustrato in figura:

Questo vettore viene denominato ampiezza, perchè è effettivamente l’ampiezza dell’arco descritto dal pendolo.
In realtà, la “coordinata” che meglio descrive la posizione del pendolo è l’angolo $\theta$ (evidenziato anch’esso in verde nella figura precedente), l’angolo che la sbarra del pendolo forma con la verticale. Tuttavia, la scelta di questa coordinata comporta due problemi:

  • L’introduzione di una coordinata angolare complica i calcoli non poco, dato che sono necessarie funzioni trigonometriche per raffrontare delle lunghezze con la misura di un angolo.
  • Esprimere l’accelerazione del punto materiale mediante l’angolo $\theta$ ci impedirebbe di riconoscere la tipologia del moto da esso seguito, la quale risulta invece chiara se si adotta la coordinata $x$.

Da un punto di vista puramente geometrico, stiamo confondendo un arco di circonferenza, il quale misura $l \ \theta$ (ove $\theta$ qui è misurato in radianti), con la lunghezza di un segmento, che misura $l \ \sin(\theta)$: la differenza tra queste due quantità risulta esigua (inferiore di tre ordini di grandezza) se $\theta$ misura meno di quattro gradi. Ci porremo allora sempre in questa condizione, che l’angolo $\theta$ sia sempre inferiore ai quattro gradi: $| \theta | < 4 ^\circ$. La relazione matematica che lega $x$ e $\theta$ è $\sin (\theta) = \frac{x}{l}$.

Ora passiamo calcolare il sistema di forze che agisce sul grave.

Sappiamo che agiscono la forza peso, diretta verticalmente e verso il basso, e la reazione vincolare. Quest’ultima si oppone ad ogni tentativo di allungare o accorciare la sbarra da parte delle altre forze in gioco (cioè il peso), e, in base al principio di azione-reazione, direzione e modulo coincidono con l’azione del peso, mentre il verso è opposto.

Per determinare la reazione vincolare, scomponiamo allora la forza peso $\vec{P}$ in due vettori: uno, $\vec{P}_\parallel$, lungo la stessa direzione della sbarra del pendolo, l’altro, $\vec{P}_\perp$, lungo la direzione tangente al moto. I due vettori sono determinati dal fatto che, sommati, danno la forza peso: $\vec{P} = \vec{P}_\parallel + \vec{P}_\perp$. La forza $\vec{P}_\perp$ agisce sulla sbarra: ad essa si oppone quindi la reazione vincolare $\vec{R}$, dettata dal principio di azione-reazione.
L’illustrazione seguente riassume la situazione.

 

La forza risultante si calcola eseguendo la somma vettoriale di tutte le forze presenti:$$\vec{F}_{\text{tot.}} = \vec{P} + \vec{R} = \vec{P}_\parallel + \vec{P}_\perp + \vec{R} = \vec{P}_\parallel$$Per determinare il vettore $\vec{P}_\parallel$ occorre darne modulo, verso e direzione.

  • Il modulo è presto detto: usando un basilare ragionamento di trigonometria, si deduce dalla definizione del seno di un angolo che il modulo di $\vec{P}_\parallel$ vale $P \sin (\theta) = m g \sin (\theta)$; ricordando che $\sin (\theta) = \frac{x}{l}$, scriviamo $P_\parallel = m g \frac{x}{l}$.
  • Così come abbiamo confuso la lunghezza dell’arco descritto dal pendolo con l’ampiezza, allo stesso modo supporremo che la forza risultante sia interamente diretta nella stessa direzione individuata dal vettore $\vec{x}$.
  • Infine, per il verso, dall’illustrazione è chiaro che $\vec{P}_\parallel$ punta dal grave alla verticale del pendolo, mentre $\vec{x}$ punta dalla verticale verso il punto materiale: i due versi sono opposti.

Mettendo insieme tutte queste informazioni, arriviamo alla formula$$ \vec{F}_{\text{tot.}} = m g \frac{-\vec{x}}{l}$$Utilizziamo ora la seconda legge della dinamica per descrivere analiticamente il moto. Se $\vec{x}$ rappresenta la posizione del punto materiale, indichiamo con $\vec{v}$ la sua velocità e con $\vec{a}$ la sua accelerazione. Sostituendo l’espressione per la forza risultante da noi trovata nella legge della dinamica, si ottiene$$m \ g \frac{-\vec{x}}{l} = m \ \vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{a} = - \frac{g}{l} \vec{x} $$Ma questa è l’espressione di un moto armonico! Ricordiamo infatti che un moto armonico è determinato da un’espressione per l’accelerazione del tipo$$a =  - \omega^2 x$$dove $\omega$ rappresenta la pulsazione. Nel nostro caso, confrontando questa espressione con quella che abbiamo ottenuto con i calcoli eseguiti in precedenza, otteniamo che la pulsazione di un pendolo semplice è$$ - \omega^2 = - \frac{g}{l} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{ \frac{g}{l} }$$Di conseguenza, possiamo calcolarne anche il periodo $T$ e la frequenza $f$:$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }, \quad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{g}{l} }$$Concludiamo quindi che un pendolo, almeno per angoli di oscillazione inferiori a quattro gradi (quelle che, con un termine tecnico, si chiamano “piccole oscillazioni”), si comporta come un oscillatore armonico.

Come si può anche vedere dalle formule che ne esprimono il periodo di oscillazione, questo non dipende in alcun modo dall’ampiezza delle oscillazioni (attenzione però, esse devono comunque rimanere “piccole”!) né dalla massa del grave appeso al pendolo, ma solo dal rapporto tra accelerazione di gravità $g$ e lunghezza della sbarra che costituisce il pendolo $l$. Questo fenomeno è noto come isocronia del pendolo (in greco antico, chronos vuol dire “tempo” e isos “uguale, stesso”).

Crediti animazione: burro, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_Pendulum_Oscillator.gif

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