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Portare un fattore dentro o fuori dal segno di radice

In questa lezione impariamo come portare alcuni fattori dentro o fuori da un radicale.

Prima di tutto, però occorre ribadire che, in generale, la somma algebrica di due radicali non è il radicale della somma algebrica dei due radicandi. In simboli, $\sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b} \neq \sqrt[n]{a \pm b}$. Questo deriva dalla definizione di radicale e dalle sue proprietà, che coinvolgono per lo più la moltiplicazione (e la divisione), proprio come le proprietà delle potenze.

In presenza di una somma algebrica che coinvolga lo stesso radicale (cioè con lo stesso radicando e lo stesso ordine), possiamo però avvalerci dello stesso procedimento che usiamo con i monomi simili: ossia, possiamo raccogliere a fattor comune il radicale. In formule, vale$$ B \sqrt[n]{A} \pm C \sqrt[n]{A} = (B \pm C) \sqrt[n]{A}$$È dunque importante, nelle espressioni con i radicali, saper mettere in evidenza quelli simili. Per farlo, spesso è necessario trasformare i radicali stessi, portando “fuori” o “dentro” la radice un particolare fattore.

Per portare un fattore all’esterno di una radice, possiamo dire che se l’esponente $m$ del fattore interessato, diviso per l’ordine della radice $n$, dà come risultato il quoziente $q$ con resto $r$ (cioè $m = q \cdot n + r$), vale$$ \sqrt[n]{A^m \cdot B} = A^q \ \sqrt[m]{A^r \cdot B}$$Se invece volessimo portare dentro la radice un particolare fattore, occorre moltiplicare il suo esponente per l’ordine della radice: se l’indice della radice è dispari, abbiamo$$ A^m \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A^{n \cdot m} B}$$Bisogna però prestare parecchia attenzione al segno del fattore in questione, nel caso in cui l’indice $m$ sia pari: infatti, se l’indice è pari, abbiamo$$ A^m \sqrt[n]{B} = \begin{cases}\displaystyle{\sqrt[n]{A^{n \cdot m} B}} & \quad \text{ se }A^m > 0 \\ \displaystyle{- \sqrt[n]{A^{n \cdot m} B}} & \quad \text{ se } A^m < 0\end{cases}$$