Calcolo letterale

I radicali: proprietà, definizioni e operazioni

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In questo contenuto abbiamo definito cosa siano la radice quadrata e la radice cubica di un numero: siamo arrivati a quelle definizioni cercando di invertire l’operazione di elevamento al quadrato e al cubo, rispettivamente. Il ragionamento che abbiamo fatto può essere esteso senza troppa difficoltà anche all’elevamento a una qualsiasi potenza.

 

Definizione

Se $n$ è un numero naturale e $a$ un numero reale diverso da zero. Si chiama radice $n$-esima di $a$ quel numero reale $b$ che ha lo stesso segno di $a$ e tale che $b^n = a$. Se $a=0$, invece, $\sqrt[n]{0} = 0$ per ogni $n$.
Indichiamo la radice $n$-esima di $a$ con il simbolo $\sqrt[n]{a}$, che chiamiamo radicale $n$-esimo. Il numero $a$ si dice radicando e il numero $n$ si chiama indice del radicale.

 

Facciamo alcune osservazioni riguardo alla definizione che abbiamo appena dato.

  • Quando $n=1$, stiamo facendo la “radice $1$-esima” di $a$ che in realtà coincide proprio con $a$ stesso: in questo caso quindi si omette il segno di radice.
  • Quando $n=2$, invece, la “radice $2$-esima” di $a$ è la radice quadrata di $a$. In questo caso si omette l’indice del radicale e quindi anzichè scrivere $\sqrt[2]{a}$ scriviamo $\sqrt{a}$.
  • Non è detto che, dato un qualsiasi numero naturale $n$, esista sempre la radice $n$-esima di un numero reale arbitrario. Infatti se $n=2$, per esempio, non sempre possiamo svolgere questa operazione: nello specificico, la radice quadrata di un numero negativo non esiste (o meglio, non è un numero reale).
    Si può mostrare che, in realtà, lo stesso problema si incontra quando abbiamo $n$ pari (mentre negli altri casi la radice $n$-esima esiste sempre).
  • Nella definizione si sta attenti a specificare che la radice $n$-esima deve avere lo stesso segno del radicando. La motivazione di questo fatto è legata alla situazione ambigua che si crea con le radici di indice pari (per esempio, sia $-2$ che $2$ potrebbero essere la radice quadrata di $4$, dato che $(-2)^2 = 4$ ma anche $2^2 = 4$).
  • Un altro modo di indicare un radicale è di esprimerlo come una potenza con esponente frazionario: possiamo cioè definire $$\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}$$(ovviamente solo quando $\sqrt[n]{a}$ esiste).

 

Proprietà fondamentali dei radicali

Elenchiamo qui di seguito le principali proprietà dei radicali. Queste proprietà sono molto utili negli esercizi; mostreremo inoltre come ciascuna di esse può essere ricondotta alle proprietà delle potenze.

Per tutto il paragrafo considereremo $a$ come un numero reale qualsiasi e $n$ come un numero naturale.

 

Prima proprietà: Quando esiste il numero $\sqrt[n]{a}$, allora: $$\left ( \sqrt[n]{a} \right )^n = a.$$

Questa proprietà ci permette, per esempio, di svolgere immediatamente calcoli come $\left ( \sqrt[3]{5} \right )^3, \left ( \sqrt[5]{-2} \right )^5, \left ( \sqrt[2]{8} \right )^2$ senza svolgere ciò che sta tra parentesi: infatti queste espressioni sono uguali rispettivamente a $5, -2, 8$.
La validità di questa proprietà è legata alle proprietà delle potenze. Infatti $$\left ( \sqrt[n]{a} \right )^n = \left (a^{\frac{1}{n}} \right )^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a$$dove per scrivere la terza uguaglianza abbiamo usato la proprietà della potenza di una potenza.

 

Seconda proprietà: L’espressione $\sqrt[n]{a^n}$ ha sempre significato, per ogni scelta di $a$ e $n$. Inoltre:
\begin{align*}
\text{ se $n$ è dispari, } \sqrt[n]{a^n} = & \ a; \\
\text{ se $n$ è pari, }\sqrt[n]{a^n} = & \begin{cases} a & \text{se $a \geq 0$} \\ -a & \text{se $a < 0$} \end{cases} \quad \text{ovvero } \sqrt[n]{a^n} = |a|.
\end{align*}
Facciamo alcuni esempi per capire un po’ meglio cosa sta succedendo.

  • $\sqrt{3^2} = \sqrt[2]{3^2} = \sqrt[2]{9} = 3.$
  • $\sqrt[3]{(-3)^3} = \sqrt[3]{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3)} = \sqrt[3]{-27} = -3.$
  • $\sqrt[4]{(-2)^4} = \sqrt[4]{(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)} = \sqrt[4]{16} = 2.$ Si vede quindi perché il segno del risultato dipenda dal fatto che $n$ sia pari o meno: un radicale con indice pari è necessariamente positivo, perché concorde con il radicando $a^n$, che è per forza positivo (essendo $n$ pari).

 

Terza proprietà (proprietà invariantiva): Se $a \geq 0$ e $p,q \in \mathbb{N}$ allora: $$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}$$A parole possiamo dire il valore di un radicale con radicando non negativo non cambia, se moltiplichiamo l’indice del radicale ($n$) e l’esponente del radicando ($m$) per lo stesso numero naturale positivo $p$.

Facciamo alcune osservazioni.

  • Perché imponiamo che $a \geq 0$? Se così non fosse, ci sarebbero dei problemi mentre applichiamo la proprietà. Prendiamo per esempio $a = -8, n=3, m=1, p=2$. Allora: $$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[3]{-8} = -2;$$mentre $$\sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = +2.$$Vediamo quindi che nel nostro esempio $\sqrt[n]{a^m} \neq \sqrt[np]{a^{mp}}$, proprio perché $a <0$.
  • Non a caso questa proprietà si chiama “proprietà invariantiva”. Utilizzando le proprietà delle potenze, abbiamo: $$\sqrt[n]{a^m} = \left ( a^m \right )^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{pm}{pn}} = \sqrt[np]{a^{mp}}$$Nella terza uguaglianza abbiamo utilizzato il fatto che le frazioni $\frac{m}{n}$ e $\frac{pm}{pn}$ sono equivalenti, secondo la proprietà invariantiva delle frazioni.

 

 

Operazioni tra radicali


Prodotto tra radicali:
Il prodotto di due radicali con radicandi $a, b$ positivi o nulli e con lo stesso indice $n$ è uguale al radicale che ha come indice $n$ e come radicando il prodotto $a \cdot b$. Con una formula: $$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \quad \text{se }a \geq 0, b \geq 0$$Vale la pena di notare alcune cose.

  • La richiesta che $a$ e $b$ non siano negativi è necessaria per non incorrere in incongruenze. Se consieriamo $a=-2$, $b=-2$ per esempio, abbiamo $\sqrt{ab} = \sqrt{(-2) \cdot (-2)} = \sqrt{4} = 2$, ma di certo non possiamo dire che $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, dato che $\sqrt{-2}$ non è nemmeno definito!
  • Il prodotto tra radicali funziona in questo modo grazie alle proprietà delle potenze. Infatti: $$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (ab)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{ab}.$$

 

Divisione tra radicali: Il quoziente di due radicali con radicandi $a$ positivo o nullo e $b$ positivo e con lo stesso indice $n$ è uguale al radicale che ha come indice $n$ e come radicando il quoziente $\frac{a}{b}$. Con una formula: $$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad \text{se }a \geq 0, b > 0$$Anche in questo caso dobbiamo chiedere che $a$ e $b$ non siano negativi per lo stesso motivo che abbiamo esposto riguardo al prodotto tra radicali. Inoltre $b$ deve essere preso non nullo perché si trova a denominatore. Infine, anche la divisione tra radicali funziona così grazie alle proprietà delle potenze (in maniera del tutto analoga a quanto accadeva per il prodotto dei radicali).

 

Elevamento a potenza di un radicale: Se $a \geq 0$ e $m \in \mathbb{N}$, per elevare alla $m$ il radicale $\sqrt[n]{a}$ è sufficiente elevare alla $m$ il radicando. In formule: $$\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m = \sqrt[n]{a^m} \quad \text{se }a \geq 0, m \in \mathbb{N}$$Spieghiamo questa proprietà utilizzando le proprietà delle potenze: $$\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m = \left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^m = a^{\frac{m}{n}} =  \left ( a^m \right )^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$$

 

Radice di un radicale: Se $a \geq 0$, la radice $m$-esima di $\sqrt[n]{a}$ è uguale al radicale che ha lo stesso radicando e indice uguale al prodotto $m \cdot n$. In formule $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \quad \text{se }a \geq 0, m \in \mathbb{N}$$Anche questa volta, il motivo per cui vale questa proprietà è riconducibile alle proprietà delle potenze: $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}} = \sqrt[mn]{a}$$

Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino

 

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