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Proprietà delle radici e condizioni di esistenza dei radicali

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In questo video iniziamo a scoprire le proprietà dei radicali.
Innanzitutto, ricordiamo che un radicale è definito, se ha indice pari, solo per radicandi non negativi: ossia, se $n$ è un numero naturale pari, $\sqrt[n]{A}$ esiste solo se $A \geq 0$. Se dunque $A$ è un’espressione letterale, occorrerà porre delle condizioni di esistenza mediante la disequazione $A \geq 0$.
Detto questo, illustriamo le seguenti proprietà dei radicali:

  1. Ovunque sia definita $\sqrt[n]{A}$, vale$$\left( \sqrt[n]{A} \right)^{n} = A$$Questa proprietà deriva direttamente dalla definizione di radicale ennesimo, e ci fa comprendere che, almeno per i numeri reali non negativi, l’estrazione di radice è una delle operazioni inverse dell’elevamento a potenza (l’altra è il logaritmo).
  2. Per ogni $A \in \mathbb{R}$ vale$$\sqrt[n]{A^n} = \begin{cases} A & \text{ se }n \text{ è dispari} \\ |A| & \text{ se }n \text{ è pari} \end{cases}$$Per accorgersi del fatto che con indice pari è necessario mettere il valore assoluto, è sufficiente ricordarsi la definizione del modulo di un numero e fare qualche esempio.
  3. Se $A \geq 0$ allora $$ \sqrt[n]{A^m} = \sqrt[n \cdot k]{A^{m \cdot k}}$$Questa proprietà si chiama proprietà invariantiva dei radicali. Molto importante è notare che vale sempre solo se $A \geq 0$: se $A < 0$ possono presentarsi dei problemi, non solo di definizione del radicale, ma anche di segno dello stesso. Queste problematiche vanno sotto il nome di condizioni di accettabilità, e verranno trattate in dettaglio nel seguito. Ad ogni modo, come tutte le uguaglianze, la proprietà invariantiva può anche essere scritta nell’altro verso:$$ \sqrt[n \cdot k]{A^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{A^m}$$Questo ci dice che, prestando la dovuta attenzione alle condizioni di esistenza ed accettabilità, possiamo semplificare indice della radice ed esponente del radicando qualora abbiano un fattore in comune.

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