Limiti di funzioni razionali fratte per x che tende a un numero

Una funzione razionale fratta è una funzione che si può scrivere come rapporto di due polinomi. Si presenta, cioè, nella forma  f(x)= N(x)/D(x). 

Se si tratta di un solo polinomio, la chiameremo razionale intera o polinomiale.

Quando calcoliamo il

e facciamo tendere la x a un certo numero x₀, si possono presentare diversi casi, qui tutti illustrati con degli esempi:

•  Il denominatore non si annulla. La funzione è continua in x₀ e basta sostituire il valore x₀ nella funzione

• Si annulla il denominatore (e non il numeratore). Quello che si fa è vedere cosa accade nelle vicinanze del punto “problematico”: si calcolano i due limiti destro e sinistro

Il risultato di questi due limiti è, in valore assoluto, infinitamente grande. Come si fa a stabilire il segno dell’infinito? Si sostituiscono rispettivamente valori poco al di sopra o poco al di sotto di x₀, si valuta se il denominatore diventa poco più grande di zero (0⁺) o poco più piccolo di zero (0^-) e, di conseguenza, si stabilisce il segno corretto: +∞ o -∞. 

In questo caso si dice che la retta x=x₀ è un asintoto verticale per la funzione.

•  Si annullano sia numeratore che denominatore. In questo caso diremo che il limite si presenta nella forma indeterminata  0/0.

Per stabilire il valore del limite, basta scomporre i polinomi al numeratore e al denominatore e cercare di semplificare.

In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math