Studio di funzione

Segno della derivata prima e monotonia di una funzione

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Mediante lo studio del segno della derivata prima di una funzione $f(x)$ è possibile conoscerne il comportamento. 

Una funzione $f$ è detta crescente su un intervallo $I$ quando presi due punti $x_1$ e $x_2$ in $I$ vale: $$\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).$$ Per fissare le idee osserviamo il seguente grafico:

ogni volta che $x_1$ ha un valore inferiore a $x_2$ l'immagine $f(x_1)$ è più piccola di $f(x_2)$.
Allo stesso modo diciamo che $f$ è decrescente su un intervallo $I$ quando presi due punti $x_1$ e $x_2$ in $I$ vale:
$$\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2).$$

Se una funzione $y=f(x)$ è continua su tutto un intervallo $I$ e derivabile nei suoi punti interni abbiamo uno strumento che ci permette di dire se su quell'intervallo cresce o decresce. Se la derivata è positiva, infatti, la funzione è crescente, se è negativa è decrescente. 

Quindi ciò che dobbiamo fare, una volta calcolata la derivata, è studiarne il segno (ovvero stabilire dove assume valori positivi e dove negativi).

Per esempio stabiliamo come si comporta la funzione $$y=x^3+2x^2+3$$ Calcolando la derivata otteniamo $$y'=3x^2+4x=x(3x+4)$$ A questo punto per studiarne il segno dobbiamo risolvere la disequazione $$y' \geq 0$$ ovvero $$x(3x+4) \geq 0$$ Otteniamo così che la derivata è nulla in $x=0$ e $x=-\frac{4}{3}$, positiva per $x < -\frac{4}{3}$ e per $x > 0$, negativa per $-\frac{4}{3} < x < 0$.
Possiamo concludere allora che la funzione $y=x^3+2x^2+3$ è crescente per $x < -\frac{4}{3}$ e per $x > 0$, mentre è decrescente per $-\frac{4}{3} < x < 0$ come possiamo verificare osservando il grafico della funzione che è tracciato nella figura seguente. 

 

Possiamo allora procedere in questo modo ogni volta che vogliamo capire come si comporta una funzione: dove cresce e dove decresce. 

Bisogna però prestare attenzione, quando studiamo il segno della derivata. Se una funzione ha derivata positiva su tutto il dominio questo non significa per forza che sia crescente globalmente.

Prendiamo come esempio $y=-\frac{1}{x},$ la cui derivata è $y=\frac{1}{x^2}$ che è positiva per tutti gli $x\neq 0$, ovvero per tutti gli $x$ dove la funzione è definita. Quindi la funzione è crescente nei due intervalli $x < 0$ e $x > 0$ soltanto se vengono considerati indipendentemente l'uno dall'altro. Infatti se prendiamo $x=-1$ e $x=1$ ci accorgiamo che non viene soddisfatta la condizione che definisce una funzione crescente: $f(-1)=1$, $f(1)=-1$, e quindi non è vero che $f(-1) < f(1)$. Cosa accade diventa evidente se facciamo riferimento al grafico della funzione. 

 

 

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