Trigonometria

La tangente e altre funzioni trigonometriche

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Definite le principale funzioni trigonometriche seno e coseno, iniziamo ad introdurre altre funzioni che si riveleranno utili per la risoluzione dei problemi sui triangoli.

 

La tangente

Molto utilizzata tra le altre funzioni trigonometriche è la tangente. 

Definizione: dato un angolo $\alpha$ tra $0$ e $2\pi$, la tangente di $\alpha$ è il rapporto tra seno e coseno dell’angolo: 

$$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}.$$

Notiamo che, siccome $\cos(\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{3}{2}\pi)=0$ e non si può dividere per $0$, la tangente non è definita in $\frac{\pi}{2}$ e$\frac{3}{2}\pi$.

 

Geometricamente, data una circonferenza di raggio $1$ centrata nell’origine del piano cartesiano come quella in figura, detta circonferenza unitaria o goniometrica, la tangente di $\alpha$ rappresenta la lunghezza del segmento $AT$, dove $T$ è l’intersezione tra la retta passante per $P$ e $O$ e la retta $r : x =1$:

 

 

 

Infatti, osserviamo i triangoli $OPH$ e $OTA$: sono entrambi rettangoli e hanno un angolo in comune, quindi sono simili. Di conseguenza i rapporti tra i cateti dei due triangoli sono uguali: $$\frac{TA}{OA}=\frac{PH}{OH},$$ 
e, siccome $PH=\sin(\alpha), OH = \cos(\alpha)$ e $OA=1$, si ha che: $$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=TA.$$
 
Osservazione: per $\alpha = \frac{\pi}{2}$ o $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ il punto $P$ starebbe sull’asse $y$, perciò la retta passante per esso non può mai incontrare la retta $r : x=1$, in quanto sono parallele! Infatti la tangente non è definita per tali angoli. 
 
Proprietà della tangente
Come seno e coseno, anche la tangente può essere definita per qualsiasi valore al di fuori dell’intervallo $[0, 2\pi]$, ad esempio:

$$\tan\left(\frac{7}{3}\pi\right)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)}=\frac{-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\tan\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

Quindi anche la tangente è una funzione periodica, ma a differenza di seno e coseno, il suo periodo è π: $$\tan(\alpha+\pi)=\frac{\sin(\alpha+\pi)}{\cos(\alpha+\pi)}=\frac{-\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)}=\tan(\alpha).$$

 

 

Vediamo alcuni esempi in cui la funzione tangente risulta utile per risolvere semplici problemi. 

 

Triangolo rettangolo

Data la lunghezza di uno dei due cateti e gli angoli, calcolare la lunghezza dell’altro cateto. 

Sappiamo che nei triangoli rettangoli di cateti $c_1$ e $c_2$ e ipotenusa $i, c_2 = \sin (\alpha) \cdot i$ e $c_1 = \cos (\alpha) \cdot i$, quindi una possibile strada per rispondere alla domanda è calcolare l’ipotenusa e usarla per trovare l’altro cateto: $$i=\frac{c_1}{\cos(\alpha)}, \quad c_2=\sin(\alpha)\cdot i.$$ 

Se sostituiamo la prima formula nella seconda osserviamo però che: $$c_2=\sin(\alpha)\cdot i=\sin(\alpha)\cdot\frac{c_1}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha)\cdot c_1.$$ 

Quindi grazie alla tangente è possibile ricavare direttamente la misura di un cateto, conoscendo la misura dell’altro: $$c_2=\tan(\alpha)\cdot c_1,\quad c_1=\tan(\beta)\cdot c_2.$$
 
Cotangente, secante e cosecante
Altre funzioni trigonometriche, anche se meno usate della tangente, sono cotangente, secante e cosecante
Definizione: dato un angolo $\alpha$ tra $0$ e $2\pi$ la cotangente di $\alpha$ è il rapporto tra coseno e seno dell'angolo: $$\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.$$ 
La cotangente non è definita per gli angoli $0, +π, -π$. Anche la cotangente di $\alpha$ ha un significato geometrico: essa rappresenta la lunghezza di $BS$ nella seguente figura. 

 

Analogamente al caso della tangente infatti si ha, grazie alla similitudine tra i triangoli $OPK$ e $OSB$: $$\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{PK}{OK}=\frac{SB}{OB}=SB$$

Osserviamo che la cotangente non è altro che il reciproco della tangente: $$\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{1}{\tan(\alpha)}.$$

 

Così come per la cotangente, anche i reciproci di coseno e seno definiscono due nuove funzioni dette rispettivamente:

  • secante di $\alpha$, $\sec(\alpha )=\frac{1}{\cos(\alpha)}$
  • cosecante di $\alpha$, $\csc(\alpha ) =\frac{1}{\sin(\alpha)}$.

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