Trigonometria

Il teorema di Carnot o del coseno: dimostrazione

A cura di

1902 visite

0 domande

Il teorema di Pitagora mette in relazione le lunghezze dei tre lati di un triangolo rettangolo, in modo che sia possibile ricavare la lunghezza di uno di questi a partire dagli altri due. In un triangolo generico, invece, questo non è possibile: conoscere le lunghezze di due lati non è sufficiente a determinare tutte le altre quantità relative al triangolo che si sta considerando.

Bisogna dire però che il primo criterio di congruenza per i triangoli, in un certo senso, ci assicura che basta conoscere la misura dell’angolo compreso tra due lati per conoscere completamente il triangolo che si ha di fronte: in particolare quindi si può determinare la lunghezza del terzo lato. In effetti questo è, in soldoni, il contenuto del seguente teorema.


Teorema (di Carnot, o del coseno): Consideriamo un triangolo qualsiasi con lati di misura $a, b$ e $c$; chiamiamo $\gamma$ l’angolo compreso tra $a$ e $b$. Allora vale la seguente relazione: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$$Dimostrazione. Prendiamo un triangolo di lati $a, b, c$ e consideriamo l’altezza relativa a $c$; questa altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli. I cateti che giacciono su $c$ possono essere determinati in funzione degli altri angoli $\alpha$ e $\beta$, grazie alla definizione di coseno applicata in ciascun triangolo rettangolo ottenuto: $$c = b \cos \alpha + a \cos \beta$$

Possiamo applicare lo stesso procedimento tracciando le altre altezze del triangolo; otteniamo quindi le tre relazioni \begin{align*} a & = b \cos \gamma + c \cos \beta \\ b & = c \cos \alpha + a \cos \gamma \\ c & = b \cos \alpha + a \cos \beta \end{align*}Moltiplichiamo entrambi i membri della prima relazione per $-a$, della seconda per $-b$ e della terza per $c$: \begin{align*} -a^2 & = -ab \cos \gamma - ac \cos \beta \\ -b^2 & = - bc \cos \alpha - ab \cos \gamma \\ c^2 & = bc \cos \alpha + ac \cos \beta \end{align*}Sommando membro a membro le tre uguaglianze e avendo cura di eliminare i termini opportuni, otteniamo$$-a^2 - b^2 + c^2 = -2ab \cos \gamma$$che - a patto di riordinare gli addendi - è la nostra tesi.

 

Facciamo un paio di osservazioni sul teorema appena dimostrato.

  • Il teorema fornisce una formula che può essere utilizzata per trovare il quadrato di $c$. In realtà (com’era abbastanza ovvio) valgono anche le relazioni \begin{align*} a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \\ b^2 & = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \end{align*}
  • Se il triangolo che stiamo considerando è rettangolo e - per esempio - $\alpha = \frac{\pi}{2}$, allora il teorema di Carnot (utilizzato per ricavare la misura del quadrato di $a$) diventa equivalente al teorema di Pitagora: \begin{align*} a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc\underbrace{\cos \left  ( \frac{\pi}{2} \right )}_{=\  0 } \\ a^2 & = b^2 + c^2 \end{align*}Da questa osservazione possiamo dedurre che il teorema del coseno è a tutti gli effetti una generalizzazione del teorema di Pitagora.
  • Il teorema di Carnot è spesso uno strumento quasi indispensabile quando vogliamo risolvere un triangolo qualsiasi. Conoscere due lati e l’angolo tra essi compreso è esattamente la situazione tipica in cui questo teorema ha la sua principale applicazione; tuttavia può anche essere utilizzato quando si conoscono tutti e tre i lati di un triangolo e si vuole determinare il coseno di uno degli angoli, utilizzando una delle seguenti formule inverse: \begin{align*} \cos \alpha & = \frac{b^2 + c^2- a^2}{2bc} \\ \cos \beta & = \frac{a^2 + c^2- b^2}{2ac} \\ \cos \gamma & = \frac{a^2 + b^2- c^2}{2ab} \end{align*}

 

domande

Signor Wolf
Risolve problemi
su Oilproject dal 1994

Non c'è nessuna domanda su questa lezione!

Se ne hai una scegli una lezione e clicca "Hai dubbi?"

RELATORI

Sai rispondere
a queste domande?

Qui non ci sono ancora domande.

Visualizza altre domande o

Contatti Pubblicità Quality policy Note legali Cookie policy Oilproject Srl P.IVA 07236760968