Geometria analitica

Ciao Lorenzo! In generale in geometria analitica quando si parla di "fasci" di qualche cosa, si ha un'equazione con parametro che descrive un gruppo di enti geometrici: fasci di rette, fasci di parabole, fasci di circonferenze - i casi sono tutti simili. Vediamo che in tutte questi fasci, l'equazione dipende da un parametro reale, di solito indicato dalla lettera $k$ (ma si usa $m$ per i fasci di rette propri, come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/fascio-proprio-di-rette-spiegazione-ed-esempi-6548.html). Ecco, usare un solo parametro reale fa sì che l'equazione del fascio non descriva proprio tutte le casistiche possibili: manca sempre una retta, una parabola, una circonferenza. Ad esempio, prendiamo un generico fascio di circonferenze:$$ k \left( x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 \right) + x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 $$Questa equazione descrive l'insieme delle circonferenze generate dalla combinazione delle due: il fascio dovrebbe contenere entrambe le circonferenze, ma non riusciamo mai, per nessuna scelta del parametro reale $k$, ad ottenere la prima, $ x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 $. Questa è proprio la circonferenza esclusa dal fascio. In generale quindi, cerchiamo di mettere in evidenza il parametro, davanti a una parentesi con un polinomio che descrive una circonferenza, e la circonferenza esclusa sarà proprio quella che moltiplica il parametro. Attenzione che la forma in cui le equazioni delle circonferenze ci compaiono è quella esplicita: se le abbiamo in forma implicita si può passare da una forma all'altra seguendo le formule riportate qui https://library.weschool.com/lezione/equazione-formule-circonferenza-raggio-coniche-geometria-analitica-13402.html e qui https://library.weschool.com/lezione/geometria-circonferenza-calcolo-coordinate-centro-raggio-diametro-esempi-equazione-4705.html. Spero sia tutto comprensibile: le ragioni questa esclusione sono un po' complicate, se vuoi chiarimenti chiedi pure! Ciao e buona giornata.