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Problema di geometria nello spazio euclideo

In una piramide regolare triangolare gli spigoli laterali misurano 12 cm e gli spigoli di base misurano 8 cm. Determina l'ampiezza dei diedri aventi per spigoli gli spigoli di base.

Il 28 agosto 2015 alle 17:42, da Dennis Izzo


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Ciao Dennis! Innanzitutto ti segnalo questa lezione sulle piramidi, con un po’ di formule: http://www.oilproject.org/lezione/piramide-formule-apotema-volume-tronco-di-piramide-formulario-geometria-solida-13241.html. Potrebbe interessarti anche questa lezione in cui si parla di diedri: http://www.oilproject.org/lezione/angolo-diedro-rette-sghembe-semipiano-teorema-tre-perpendicolari-geometria-nello-spazio-14896.html. Per quanto riguarda il tuo problema, il procedimento che devi seguire è il seguente. Per prima cosa bisogna considerare un piano perpendicolare a uno spigolo di base passante per il vertice della piramide: questo piano conterrà anche l’altezza della piramide. Si viene quindi a formare un triangolo rettangolo che ha per cateti l’altezza della piramide e il raggio della circonferenza inscritta al triangolo equilatero (si può dimostrare, se vuoi ti spiego come) la cui lunghezza può essere determinata a partire dal lato del triangolo equilatero, come spiegato in questa lezione: http://www.oilproject.org/lezione/formule-triangolo-equilatero-altezza-area-perimetro-inscritto-circonferenza-12665.html. L’angolo $\alpha$ compreso tra l’ipotenusa e di questo triangolo rettangolo e il raggio della circonferenza inscritta è proprio l’angolo diedro che stai cercando! Facendo un po’ di conti, mi viene questa relazione: $$\tan (\alpha) = \sqrt{23} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arctan(\sqrt{23}) \approx 78,22^\circ$$Se hai bisogno di maggiori dettagli, fammi sapere :)

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