Meccanica e cinematica

Forze di tensione con funi, contatto diretto e carrucole: esercizi svolti

A cura di , Giovanni Barazzetta

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2 domande

  1. Due corpi di massa $M = 4 \text{ kg}$ e $m = 1 \text{ kg}$, sono legati per mezzo di una fune e tirati verso destra con una forza pari a $22 \text{ N}$. Calcolare l’accelerazione del sistema e la tensione della fune.
    • Come dedotto precedentemente, determiniamo l'accelerazione attraverso la seguente formula: $$ a = \frac{F}{M + m} = \frac{22}{4+1} = 4,4\text{ m}/\text{s}^2 $$
    • Per ottenere la tensione occorre scegliere quale corpo prendere in considerazione, e fare un computo di tutte le forze che agiscono sul corpo scelto
    • Se prendiamo in considerazione il corpo con massa maggiore (quello di destra), otteniamo: $$ F - T = M \cdot a $$ e sostituendo i nostri dati $$ 22 - T = 4 \cdot 4.4 \Rightarrow T = 22 - 17.6 = 4.4 \text{ N} $$
    • Facendo riferimento al corpo che presenta la massa minore invece otteniamo un’equazione diffferente (che deve portare allo stesso risultato, però!): $$ T = ma = 1 \cdot 4.4 = 4.4 \text{ N} $$



  2. Due corpi adagiati su un piano privo di attrito, rispettivamente di massa $2 \text{ kg}$ e $4 \text{ kg}$, vengono spinti uno contro l'altro con una forza pari a $10 \text{ N}$. Calcolare l’accelerazione con cui si muoveranno i corpi e la forza di contatto.L'accelerazione si ottiene come nell'esercizio precedente, con la formula $$ a = \frac{F}{M + m} = \frac{10}{2 + 4} = 1.67 \text{ m}/\text{s}^2 $$
    • Per determinare la forza di contatto $R$ abbiamo due metodi, come nell'esempio precedente: focalizziamo l’attenzione su uno dei due corpi e calcoliamo le forze in gioco, imponendo la legge fondamentale della dinamica $F_{\text{risultante}} = m_{\text{considerata}} \ a$.
    • Se si considera il corpo la massa maggiore $M$, $R$ coincide con la risultante. Allora: $$ R = M a \Rightarrow R = 4 \cdot 1.67 = 6.68 \text{ N} $$
    • Nel caso del corpo con massa minore, la forza risultante è pari alla differenza $F - R$: $R$ si ottiene come imponendo $$ F - R = m a \Rightarrow  R = 10 - 2 \cdot 1.67 = 6.68 \text{ N} $$



  3. Due corpi di massa $1 \text{ kg}$ e $3 \text{ kg}$, scivolano su un piano inclinato legati da una fune attraverso una carrucola. Sapendo che il piano è inclinato di $30^\circ$ ed è liscio, determina l’accelerazione del sistema.
    • Per ottenere l’accelerazione, applichiamo la legge fondamentale della dinamica $$ \vec{F}_{\text{ris}} = (M + m) \ \vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \frac{1}{M + m} \vec{F}_{\text{ris}} $$
    • La forza risultante si ottiene facendo la somma vettoriale di tutte le forze in gioco: il peso dei due corpi, la reazione vincolare e la tensione. Il peso del primo corpo va scomposto, dato che si trova su un piano inclinato: la componente normale del peso $\vec{P}_\perp$ e la reazione vincolare $\vec{N}$ si compensano: $\vec{P}_\perp + \vec{N} = 0$; la tensione, complessivamente, è nulla. Le uniche forze rimanenti sono la componente parallela del peso $\vec{P}_\parallel$ e il peso del secondo corpo $\vec{P}'$, quindi $\vec{F}_{\text{ris}} = \vec{P}_\parallel + \vec{P}'$
    • Queste due forze si ottengono con semplici calcoli: $ P' = M g$ e $P_{\parallel} = \sin(30^\circ) \ m g$. Attenzione che sono rivolte in versi opposti, come evidenziato dalla figura.
    • Sostituendo nell’espressione ottenuta per l’acccelerazione, si arriva alla formula seguente: $$a = \frac{Mg - mg \sin(\alpha)}{M + m} = \frac{M - m \sin(\alpha)}{M + m} \cdot g $$ Il segno $-$ rende conto del fatto che  le due forze sono di verso opposto.
    • Sostituendo si ottiene: $$ a = \frac{3 - 1 \cdot 0.5}{3 + 1} \cdot 9.81 = 6.13 \text{ m}/\text{s}^2 $$





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