Trigonometria

Le disequazioni goniometriche elementari: esercizi svolti e spiegazione

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Una disequazione goniometrica è una disequazione (cioè, due espressioni matematiche separate da uno tra i simboli $<, \leq, >, \geq$) che contiene almeno una funzione trigonometrica, cioè una tra le funzioni $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\cot(x)$.

In questa lezione studieremo per prima cosa come affrontare le disequazioni goniometriche elementari, e successivamente vedremo come alcune disequazioni goniometriche all’apparenza più complesse possano invece essere ricondotte a disequazioni goniometriche elementari. Questo è il caso, per esempio, di alcune particolari disequazioni goniometriche di secondo grado.

 

Disequazioni goniometriche elementari

Le disequazioni goniometriche di questo tipo possono essere di una delle seguenti forme:
\begin{align*}
\sin (x) < a & \qquad \sin (x) \leq a & \sin (x) > a & \qquad \sin (x) \geq a \\
\cos (x) < a & \qquad \cos (x) \leq a & \cos (x) > a & \qquad \cos (x) \geq a \\
\tan (x) < a & \qquad \tan (x) \leq a & \tan (x) > a & \qquad \tan (x) \geq a \\
\cot (x) < a & \qquad \cot (x) \leq a & \cot (x) > a & \qquad \cot (x) \geq a
\end{align*}
dove $a$ è un numero reale qualsiasi.

Ricordiamo che, per definizione di $\sin(x)$ e $\cos(x)$, per ogni $x \in \mathbb{R}$ abbiamo
\begin{align*}
-1 \leq \sin(x) \leq 1 \\
-1 \leq \cos(x) \leq 1
\end{align*}
Da questo deduciamo alcune osservazioni importanti:

  • disequazioni del tipo $$\sin(x) > a, \qquad \cos(x) > a$$sono impossibili se $a>1$ (cioè non ammettono soluzioni) e sono sempre verificate se $a<-1$;
  • disequazioni del tipo $$\sin(x) < a, \qquad \cos(x) < a$$sono impossibili per $a < -1$ e sono sempre verificate se $ a > 1$.


Per quanto appena detto, nella trattazione che segue escluderemo tutte le situazioni appena elencate, visto che in questi casi la soluzione di una disequazione elementare diventa molto semplice.

 

Per capire come procedere nel caso generale, partiamo con un esempio pratico. Consideriamo per esempio la disequazione elementare $$\cos(x)\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$Riflettiamo sul significato di questa disequazione: sostanzialmente, ci viene richiesto di trovare tutti gli angoli $x$ che, identificati con un punto sulla circonferenza goniometrica, hanno ascissa (che è proprio $\cos(x)$) minore o uguale di $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Sembra quindi logico capire, per prima cosa, quali angoli $x$ soddisfano l’equazione associata $$\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$Il numero $\frac{\sqrt{2}}{2}$ è legato a valori particolari per $x$, ovvero $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ e $x = - \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$.

Gli angoli che soddisfano la nostra disequazione sono quelli che sono identificati con i punti della circonferenza evidenziati in rosso: infatti, ciascuno di quei punti ha ascissa minore di quella assegnata. Quindi la soluzione della disequazione può essere scritta come $$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ATTENZIONE: è importante notare che abbiamo scritto $\frac{7\pi}{4}$ al posto di $-\frac{\pi}{4}$. La ragione che sta dietro a questa scelta è che, sebbene essi siano angoli con identico coseno, la relazione $$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$$non ha senso per nessun $k$, dato che $\frac{\pi}{4} + 2k\pi > -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$!

 

Prendiamo un altro esempio, leggermente diverso da quello appena affrontato. Consideriamo la disequazione $$\tan(x) \geq \sqrt{3}$$L’equazione associata $\tan(x) = \sqrt{3}$ ha soluzioni $x = \frac{\pi}{3} + 2k \pi$ e $x = \frac{4\pi}{3} + 2k \pi$, che possiamo rappresentare sulla circonferenza goniometrica:

Uno sguardo alla figura ci permette di capire che gli angoli il cui prolungamento interseca la retta $r$ in punti di ordinata maggiore di $\sqrt{3}$ sono quelli corrispondenti agli archi evidenziati in rosso. Ricordando che gli angoli $\frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$ non possono essere considerati (lì la tangente non è definita, visto che il prolungamento dell’angolo è parallelo alla retta $r$) la soluzione di questa disequazione può essere scritta così: $$\frac{\pi}{3} + k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + k \pi.$$

Ricapitolando quanto fatto, il procedimento per una disequazione goniometrica elementare è il seguente:

  1. ricavare l’equazione associata e le sue soluzioni;
  2. disegnare le soluzioni sulla circonferenza goniometrica e, a partire da esse, riconoscere gli angoli che rispettano la richiesta;
  3. scrivere la soluzione della disequazione, facendo attenzione agli angoli scelti per descrivere la soluzione stessa.


È possibile comunque ottenere una sorta di regola generale per stabilire le soluzioni di una disequazione goniometrica elementare, facendo uso delle funzioni trigonometriche inverse. Elenchiamo qui di seguito le varie casistiche. Ricordiamo che stiamo tenendo conto delle limitazioni su $a$ che seguono dalle osservazioni fatte all’inizio di questa lezione, e che $k$ è un qualsiasi numero in $\mathbb{Z}$.

Disequazione Soluzione
$\sin(x) > a$ $\arcsin(a) + 2k \pi < x < \pi - \arcsin(a) + 2k \pi$
$\sin(x) < a$ $- \pi - \arcsin(a) + 2k \pi < x < \arcsin(a) + 2k \pi$
$\cos(x) > a$ $- \arccos(a) + 2k \pi < x < \arccos(a) + 2k \pi$
$\cos(x) < a$ $\arccos(a) + 2k \pi< x < 2 \pi - \arccos(a) + 2k \pi$
$\tan(x) > a$ $\arctan(a) + k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k \pi$
$\tan(x) < a$ $- \frac{\pi}{2} + k \pi < x < \arctan(a) + k\pi$
$\cot(x) > a$ $k \pi < x < \text{arccot}(a) + k\pi$
$\cot(x) < a$ $\text{arccot}(a) + k\pi < x < \pi + k \pi$


Chiaramente, quando la disequazione ha un simbolo come $\leq, \geq$ al posto di $< ,  > $ rispettivamente, allora basta includere appropriatamente gli estremi dell’intervallo delle soluzioni (gli esempi che abbiamo fatto sono proprio di questo tipo).

 

Disequazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari

Adesso svogliamo qualche “classico” esercizio la cui risoluzione può essere ricondotta a disequazioni goniometriche elementari.

  • Risolvere la disequazione $$2\cos \left ( x - \frac{\pi}{3} \right ) -1 < 0.$$Operiamo una sostituzione: poniamo $t = x - \frac{\pi}{3}$. La disequazione diventa la seguente: $$2\cos(t) -1 < 0 \quad \Rightarrow \quad \cos(t) < \frac{1}{2}$$L’ultima è una disequazione trigonometrica elementare in $t$, che ha come soluzione $$\frac{\pi}{3} + 2k\pi < t < \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$$Ripercorrendo “al contrario” la sostituzione che abbiamo fatto abbiamo $$\frac{\pi}{3} + 2k\pi < x - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$$e quindi $$\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi.$$
  • Risolvere la disequazione $$2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 < 0.$$Operiamo una sostituzione: poniamo $t = \sin(x)$. La disequazione trigonometrica diventa allora una disequazione di secondo grado in $t$: $2t^2 - t - 1 < 0$. Dopo aver svolto il procedimento, si ottiene la soluzione $ -\frac{1}{2} < t < 1$ che, riscrivendo $t$ come $\sin(x)$, può essere ricondotta al seguente sistema di disequazioni trigonometriche elementari: $$\begin{cases} \sin(x) > -\frac{1}{2} \\ \sin(x) < 1 \end{cases}$$La seconda disequazione è sempre verificata, ponendo però $x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (infatti $\sin \left ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right )  = 1$); invece la prima disequazione ha come soluzione $-\frac{\pi}{6}+2k\pi < x < \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$. In conclusione la soluzione della disequazione di partenza è data dall’intersezione degli insiemi delle soluzioni di ciascuna delle due: $$-\frac{\pi}{6}+2k\pi < x < \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi.$$
  • Risolvere la disequazione $$\cos(x)\tan(x) - \cos(x) \geq 0.$$Raccogliamo il termine $\cos(x)$: otteniamo $$\cos(x) ( \tan(x) - 1) \geq 0$$Il prodotto $\cos(x) ( \tan(x) - 1) $ è maggiore o uguale a $0$ soltanto quando i due fattori sono concordi o nulli. Quindi, la nostra disequazione è verificata quando sono verificati i seguenti sistemi di disequazioni trigonometriche elementari: $$(1) \begin{cases} \cos(x) \geq 0 \\ \tan(x) \geq 1 \end{cases} \quad \cup \quad (2) \begin{cases} \cos(x) \leq 0 \\ \tan(x) \leq 1 \end{cases}$$Prendiamo il sistema $(1)$. La prima equazione è vera per $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, mentre la seconda è vera per $\frac{\pi}{4} + k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + k\pi$. Confrontiamo queste soluzioni sulla circonferenza goniometrica:

    Di conseguenza il primo sistema ha soluzione $\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
    Con un ragionamento analogo si deduce che il sistema (2) ha soluzione $\frac{\pi}{2} +2k\pi < x \leq \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$; quindi, dato che le soluzioni vanno unite, la disequazione iniziale ha soluzione $$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \cup \quad \frac{\pi}{2} +2k\pi < x \leq \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$$o, in maniera più stringata,$$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi.$$

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